Bijektivität zeigen

02.11.2018, 10:10

Math2

Bijektivität zeigen

Meine Frage:
Es seien f : A ... B und g : B... C bijektive Abbildungen. Zeigen sie, dass g°f : A... C bijektiv ist und dass für die Umkehrabbildung gilt :

(g°f)^-1 =f^-1 ° g^-1

Meine Ideen:
Hinweis : Die Punkte bedeuten, dass A die Definitionsmenge ist, welche sich einer Zielmenge B zuordnen lässt . Der kleine Kreis soll die Verkettung angeben !

Bin für Ratschläge und Tipps dankbar

02.11.2018, 10:29

klarsoweit

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RE: Math2
Das Thema hatten wir hier schon mal: Bijektivität zeigen

Im Prinzip kann man das auf einer halben DIN-A4-Seite abhandeln. Insofern ist die Frage, wo es denn konkret klemmt?

02.11.2018, 14:27

Math2

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Das Problem ist, dass ich bei dieser Aufgabe keine einzige Zeile auf Papier bekomme ! Ich weiß wirklich nicht wie ich anfangen soll, sehe hier nicht einmal die Beweisnotwendigkeit ein !

02.11.2018, 14:47

Leopold

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Zitat:

Original von Math2
sehe hier nicht einmal die Beweisnotwendigkeit ein !

Das fällt mir auch schwer. Weil einfach alles so offensichtlich ist.
Aber wahrscheinlich sollst du gerade das Offensichtliche hinschreiben.

Mit $\begin{align*} x \end{align*}$ bezeichne ich die Elemente von $\begin{align*} A \end{align*}$ , mit $\begin{align*} y \end{align*}$ die von $\begin{align*} B \end{align*}$ und mit $\begin{align*} z \end{align*}$ die von $\begin{align*} C \end{align*}$ .

Beginnen wir mit der Untersuchung, ob $\begin{align*} g \circ f \end{align*}$ surjektiv ist. Diese Funktion startet in $\begin{align*} A \end{align*}$ und zielt auf $\begin{align*} C \end{align*}$ .

1. Daher denke ich mir ein $\begin{align*} z \end{align*}$ fest gewählt und schaue, ob es von $\begin{align*} g \circ f \end{align*}$ getroffen wird.

2. Weil $\begin{align*} g \end{align*}$ bijektiv, also insbesondere surjektiv ist, gibt es ein $\begin{align*} y \end{align*}$ mit $\begin{align*} g(y) = z \end{align*}$ .

3. Und weil $\begin{align*} f \end{align*}$ bijektiv, also insbesondere surjektiv ist, gibt es ein $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x) = y \end{align*}$ .

4. Jetzt rechne ich, weil mir gerade nichts anderes einfällt: $\begin{align*} \left( g \circ f \right) (x) = g \left( f(x) \right) = g(y) = z \end{align*}$

Und - welch Wunder! - ich habe ein $\begin{align*} x \end{align*}$ gefunden, das durch $\begin{align*} g \circ f \end{align*}$ auf $\begin{align*} z \end{align*}$ abgebildet wird.

Also ist $\begin{align*} g \circ f \end{align*}$ surjektiv.

Mit meiner etwas flapsigen Schreibart will ich mich nicht über die Aufgabe lustig machen, ich will nur darlegen, daß da keine großen Ideen dahinter sind, sondern alles, wenn man es der Reihe nach anpackt, so läuft, wie man es braucht.

Jetzt gehe selbst an die anderen Aufgabenteile heran.

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