Riemann-Integrierbarkeit lipschitzstetiger Funktion

02.11.2018, 17:13	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-Integrierbarkeit lipschitzstetiger Funktion Hallo zusammen, mich beschäftigt: [attach]48251[/attach] Nun, wir haben definiert: f riemannintegrierbar $\begin{eqnarray} : \Leftrightarrow sup\{s(p,f,B) : p\in Q_{B}\} = inf\{S(p,f,B) : p\in Q_{B} \} \end{eqnarray}$ , wobei p eine Partion aus der Menge aller Partionen $\begin{eqnarray} Q_{B} \end{eqnarray}$ ist. Die Riemann-Obersumme und Riemann-Untersumme stimmen also überein. Was ja nun zu zeigen wäre: $\begin{eqnarray} sup\{s(p,g(f),\left[a,b\right]) : p\in Q_{\left[a,b\right]}\} = inf\{S(p,g(f),\left[a,b\right]) : p\in Q_{\left[a,b\right]} \} \end{eqnarray}$ . Aber ich weiß nicht wie ich nun die Lipschitz-Stetigkeit dort einbringe. Für $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \exists L\in\mathbb R^{>0} : \|g(f(x)) - g(f(y))\| \leq L\cdot\|x-y\| \end{eqnarray}$ , oder?
02.11.2018, 17:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit lipschitzstetiger Funktion $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ lebt auf der Menge B, also musst du Zerlegungen von B betrachten. Außerdem ist g lipschitzstetig, nicht $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ . Deine Abschätzung ist also falsch
02.11.2018, 17:47	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit lipschitzstetiger Funktion Danke erstmal. Ok, ich betrachte weiterhin Zerlegungen von B. Aber warum ist g(f) nicht Lipschitzstetig? Es ist doch $\begin{eqnarray} \|g(x)-g(y)\| \leq L\cdot \|x-y\| \end{eqnarray}$ . Was hindert mich daran, für x und y nun f(x) und f(y) einzusetzen?
02.11.2018, 17:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit lipschitzstetiger Funktion Gar nichts. Aber du musst es eben auch auf der rechten Seite einsetzen.
02.11.2018, 18:05	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit lipschitzstetiger Funktion Oh mann Ok, also es gilt: $\begin{eqnarray} \|g(f(x)) - g(f(y))\| \leq L\cdot\|f(x)-f(y)\| \forall x,y\in B \end{eqnarray}$
03.11.2018, 16:31	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme einfach den Zusammenhang nicht hin
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