Beschränktheit von Mengen

02.11.2018, 23:07

JG97

Beschränktheit von Mengen

Hey, wir hatten letzte Vorlesung Beschränktheit.
Leider haben wir in unserem Skript kein Beispiel, wie man zeigt, dass eine Menge nicht beschränkt ist.
[attach]48257[/attach]

Die Menge ist ja nach oben nicht beschränkt, also es ex. kein "s aus R". , s.d. s > x , "für alle x aus M".
Also ist meine
Aussage A: es ex. kein "s aus R". , s.d. s > x , "f.a. x aus M" und
Aussage B: Die Menge M hat keine obere Schranke.

A --> B. Zeige ich das am besten durch (A) und (nichtB) und dann Widerspruch oder wie geht man da generell ran.

Und nur noch als Frage. Wenn ich zeigen will, dass -1 ne untere Schranke ist zeige ich einfach
-1 < n² - (3n)/(3n+1), richtig?

02.11.2018, 23:26

JG97

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beschränktheit von Mengen (Simpel)
Wenn ich annehme es gibt so ein s und dann
s > n² - (3n/n+1) dann bringt mich das nicht weiter, bzw. kann man damit glaube ich nichts zeigen.

02.11.2018, 23:31

JG97

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beschränktheit von Mengen (Simpel)
Bzw. kann man einfach umformen und dann sagen wähle z.B. n-10 > s , weil dann kann man die Gleichung zu einem Widerspruch führen. Kann man das so machen? Also sagen, dass man ein "s aus R" wählen soll und dann einfach n = 10s z.B.

03.11.2018, 08:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JG97
Wenn ich annehme es gibt so ein s und dann
s > n² - (3n/n+1) dann bringt mich das nicht weiter

"Bringt mich nicht weiter" ist so mit die überflüssigste Floskel, die hier im Forum regelmäßig aufschlägt.

Na klar kommt man damit weiter: Wenn man annimmt, dass so ein $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ existiert, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ diese Ungleichung gilt, dann folgt wegen $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}<1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n^2\geq n \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} s > n^2-\frac{3n}{n+1} > n^2-3\geq n-3 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} s > n-3 \end{eqnarray*}$ . Letzteres ist offensichtlich für $\begin{eqnarray*} n > s+3 \end{eqnarray*}$ aber falsch, also gilt die Ungleichung eben nicht für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

03.11.2018, 12:48

JG97

Auf diesen Beitrag antworten »

You make it look so easy.

Das macht man generell immer nach dem Schema, oder?

03.11.2018, 14:18

JG97

Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]48258[/attach]

Ich muss das Supremum Sup(M) = 2 und das Inf(M) = 0 beweisen.
Ich habe bereits gezeigt, dass 2 eine obere und 0 eine untere Schranke von M ist.

Beim Beweis des Supremums hatte ich auch keine Probleme, weil man einfach n,m = 1 wählen konnte und dann jedes r < 2 keine obere Schranke sein kann.
Passt so, gel?

Beim Infimum tu ich mir schwer. Ich muss zeigen, dass es keine Zahl z gibt, die größer als 0 ist und untere Schranke von M ist.
Hier kann ich aber nicht einfach ein n,m wählen, weil man dann ja immer noch eine Zahl z findet, die kleiner ist.
Andereseits gilt es auch, wenn man eine Zahl z wählt, dass man immer noch ein n,m findet, sodass es kleiner wird.
Wenn ich annehme, dass z > 0 eine Infimum von M ist, dann komme ich an den selben (vom Prinzip her gleichen) Punkt.
Dann steht da: z < (1/n) + (1/m) mit der Annahme z > 0.
Mir fehlen die Mittel daraus einen mathematischen Widerspruch zu machen.
Gedanklich ist mir bewusst, dass (1/n) + (1/m) gegen 0 konvergiert (Konvergenz haben wir noch nicht besprochen) und deshalb 0 das Infimum ist.
Ich hoffe ihr versteht was ich meine...

03.11.2018, 15:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JG97
Wenn ich annehme, dass z > 0 eine Infimum von M ist, dann komme ich an den selben (vom Prinzip her gleichen) Punkt.
Dann steht da: z < (1/n) + (1/m) mit der Annahme z > 0.

Na sagen wir besser $\begin{eqnarray*} z\leq \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ , und richtig, das muss dann für alle $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gelten.

Also im speziellen auch für $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ , das bedeutet $\begin{eqnarray*} z\leq \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Das ist aber für $\begin{eqnarray*} n > \frac{2}{z} \end{eqnarray*}$ nicht der Fall --> Widerspruch.

03.11.2018, 16:37

JG97

Auf diesen Beitrag antworten »

Da wär ich so schnell nicht drauf gekommen. Danke Mit Zunge

Neue Frage »

Antworten »

Beschränktheit von Mengen

Verwandte Themen