Gaußsche Zahlenebene - Komplexe Zahlen |
03.11.2018, 20:01 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gaußsche Zahlenebene - Komplexe Zahlen ich hab wieder eine Aufgabe, zu der ich einige Lösungen formuliert habe. Es ist sehr schön, wenn ihr einen Blick darauf werfen könntet und ggf. korrigiert. Vielen Dank vorab schon einmal. Aufgabe: Es sind folgende Bedingungen für komplexe Zahlen gegeben, die dann in der Gaußschen Zahlenebene skizziert werden sollen: (i) ; (ii) ; (iii); (iv) (v) zu i) Wenn , dann folgt daraus Somit liegt die Gerade auf Im(z). ii) hier ergeibt sich der Einheitskreis in der Anschauungsebene iii) Die Bedingung ist nur erfüllt, wenn gilt. Dies gilt, wenn das Multiplikative Inverse zu und umgekehrt. Liege ich bisher richtig? |
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03.11.2018, 20:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(i) stimmt, die andern nicht, vorausgesetzt, die jeweiligen Angaben sind korrekt. |
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03.11.2018, 20:40 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
die Bedingungen sind korrekt. ich werde die Aufgaben solitär darstellen, damit es übersichtlich bleibt. ii) Dan ist die resultierende Menge Im nächsten Schritt war die Überlegung die Gleichung der Bedingung zu vereinfachen, also Hieraus hätte ich nun den Pythagoras gesehen. So dass für jede Kombination aus x,y ein der Abstand, also der Radius =1 ist. Wo ist mein Denkfehler? |
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03.11.2018, 20:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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03.11.2018, 20:47 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke Leopold, es muss heißen . Ich habe mich zuvor verschrieben gehabt. Hab das nicht gesehen. sry. |
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03.11.2018, 20:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit den neuen Angaben stimmt (ii). Du kannst es aber einfacher haben. Dazu mußt du nur wissen: . Dieser Zusammenhang kommt sehr häufig vor. Du solltest ihn dir merken. Jetzt mußt du die gegebene Gleichung nur mit durchmultiplizieren und weiter umformen. |
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03.11.2018, 21:02 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also einfach so meinst du bestimmt? |
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03.11.2018, 21:16 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich hätte das jetzt nicht so kompliziert aufgeschrieben, schließlich weiß man ja, daß ist. Also so: Die letzte Äquivalenz gilt, weil eine nichtnegative reelle Zahl ist. Und ist die Gleichung des Einheitskreises. EDIT Übrigens hätte dasselbe Verfahren bei deiner ursprünglichen (falsch gestellten) Aufgabe auf geführt, was in reellen Zahlen unlösbar ist. |
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03.11.2018, 21:47 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
deine variante ist natürlich eleganter. Ich werde diese im Gedächtnis behalten und mich einmal erkundigen, ob wir es so hätten formulieren dürfen. Häufig müssten wir diese Beziehung noch herleiten, wenn es nicht in der Vorlesung / Übung / Tutorium hergeleitet worden ist. Bin mir bei dem Erlaubten und Nicht-Erlaubten unsicher, so dass ich zunächst die Mengenschreibweise verwende, da diese nicht groß bewiesen werden muss. Darf ich nun einfach den Lösungsansatz für Bedingung iii) skizzieren: iii) Das Argument des Klammerausdrucks ist zu bestimmen. Hierbei handelt es sich um das neutrale Element der Multiplikation auf dem Körper der Komplexen Zahlen. Folglich sind die beiden Größen R, e^{i phi) auf der linken seite multiplikative Inverse. Somit folgt daraus, dass und sein muss. Damit schneidet die Gerade bei x=0 die Y-Achse bei (0,1) und bei bei y=0 die X-Achse im Punkt (1,0). |
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03.11.2018, 22:17 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Fehlschluß geht von auf . Du denkst reell, da wäre das richtig. Im Komplexen mußt du anders vorgehen. Es empfiehlt sich, hier erst einmal den Betrag zu nehmen: Jetzt ist der Betrag mit dem Multiplizieren verträglich. Ferner gilt für reelles immer: . Deswegen folgt: Voraussetzungsgemäß ist eine positive reelle Zahl. Also endet es so: Weil positiv reell ist, folgt . Jetzt hat sich die Sache schon etwas vereinfacht. Die zu lösende Gleichung lautet jetzt: Und da ist zum Beispiel , aber auch eine Lösung. Und es gibt noch weitere. |
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04.11.2018, 16:15 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Leopold, vielen Dank für den Denkanstoß. Wenn liegt, dann nimmt Also immer bei jeder vollen Umrundung sozusagen? Genaugenommen wäre doch jetzt noch eine Fallunterscheidung durchzuführen, wenn |
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04.11.2018, 22:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In der Polardarstellung ist immer nichtnegativ vorausgesetzt. Deine Lösungen für stimmen. Du könntest allerdings dem Fehlschluß erliegen, die Gleichung hätte jetzt unendlich viele Lösungen, weil es ja unendlich viele gibt. Dem ist aber mitnichten so. Wie viele Lösungen hat die Gleichung? |
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05.11.2018, 12:50 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ein Polynom n-ten Grade hat doch aus meiner Sicht nur n-Nullstellen. Dies war noch so aus der Schulzeit bekannt, aber gibt es dafür ein Theorem oder Lemma? In diesem Fall für sollten 5 . Lösungen resultieren. Allerdings stelle ich mir auch die Frage, wie dies in der gaußschen Zahlenebene aussieht. Sind diese jeweils "Kurven", die durch den Ursprung gehen? |
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05.11.2018, 13:26 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, den Fundamentalsatz der Algebra.
Nein, das sind einfach nur Punkte. Schau Dir mal unseren Workshop an. Viele Grüße Steffen |
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06.11.2018, 17:20 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke für den Hinweis zum Workshop. Der Vollständigkeit halber poste ich nun noch die letzten beiden Aufgaben und stelle mir die Frage, wie dies dann n der Anschauungsebene aussieht: (iv): Bedingung Also wäre die Darstellung in der Anschauungsebene einfach nur alle Realteile y, die unterhalb des Wertes 2 liegen? (vI): Bedingung Im Bereich der Reellen Zahlen wäre hier die Quadratische Ergänzung zu favorisieren. Da die Diskriminante D=-1 ist. Gibt es hier keine reelen Lösungen (was auch zu erwarten war). Die Lösungen nennen wir sie In der Anschauungsebene liegen diese beiden Lösungen im I.QUadranten dicht beieinander. Vorab vielen Dank für eurer Statement und eure Unterstützung hierbei. grüße erstsemester |
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06.11.2018, 17:21 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke für den Hinweis zum Workshop. Der Vollständigkeit halber poste ich nun noch die letzten beiden Aufgaben und stelle mir die Frage, wie dies dann n der Anschauungsebene aussieht: (iv): Bedingung Also wäre die Darstellung in der Anschauungsebene einfach nur alle Realteile y, die unterhalb des Wertes 2 liegen? (vI): Bedingung Im Bereich der Reellen Zahlen wäre hier die Quadratische Ergänzung zu favorisieren. Da die Diskriminante D=-1 ist. Gibt es hier keine reelen Lösungen (was auch zu erwarten war). Die Lösungen nennen wir sie |
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06.11.2018, 17:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bei (iv) muss es zwischendurch Re(ix+i²y+2) heißen, in der nächsten Zeile stimmt's dann aber wieder. Somit besteht die Lösung aus allen Zahlen mit . Das sind also nicht die Realteile, sondern die Imaginärteile, und die sollten nicht nur unterhalb von 2 liegen, sondern auch die 2 einschließen. (Beim zeichnerischen Unterscheiden dieser beiden unendlichen Flächen tut man sich aber etwas schwer. ) Bei der letzten Aufgabe hast Du Dich irgendwo verrechnet. Die Diskriminante ist -0,25, damit ist die Wurzel daraus 0,5i und nicht 0,5. Anschaulich besteht die Lösung dann aus diesen zwei Punken in der komplexen Ebene. Viele Grüße Steffen |
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06.11.2018, 19:41 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Steffen: Hi, danke für deine Antwort. Bei uns wurde die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 als Delta=b^2-4ac hergeleitet. Die komplexe Gleichung ist z^2-(6+3i)z+(7+9i)=0. Setze ich nun für a=1, b=-6-3i und für c=7+9i ergibt sich für die Diskriminante: Delta=(-6-3i)^2-4*1*(7+9i) = 36+36i+9i^2-4*1*7-4*1*9i =36+36i+9i^2-28-36i=-1 |
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06.11.2018, 20:36 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auch in diesem Fall wird daraus die Wurzel gezogen. Und dann ist und nicht . |
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06.11.2018, 21:05 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja, da hast du recht. ich habe nun für die Lösungen, nennen wir sie Einsetzen und nachrechnen in der Bedingung geht sogar auf . edit: funktioniert doch. die VZ machen mich ganz wuschig... |
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06.11.2018, 21:21 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kleiner Typo: die erste Lösung ist 3+i, nicht 3+1. Viele Grüße Steffen |
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08.11.2018, 21:26 | erstsemester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ein herzliches Dankeschön dich. Die Lösung war natürlich korrekt ! |
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