Integritätsbereich und Polynomring

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julia441 Auf diesen Beitrag antworten »
Integritätsbereich und Polynomring
Meine Frage:
R Integritätsbereich, dann ist auch der Polynomring ein Integritätsbereich.

Meine Ideen:
R ist also nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement. Ich habe leider keinen Ansatz wie ich die nullteilerfreiheit für den Polynomring zeige.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach. Multipliziere 2 vom Nullpolynom verschiedene Polynome miteinander. Zeige, dass das Produkt nicht das Nullpolynom ist.
julia441 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hätte das dann so:


zeige:

und


also , da wir von 0 verschiedene Polynome betrachten sind die a_i und b_j ungleich 0 , damit auch das Produkt und somit die Faltung der Polynome.

Reicht das so aus? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du behauptest, dass alle Koeffizienten ungleich 0 sind, das ist falsch. Warum du bei den Indices zwischen k und h wechselst, verstehe ich nicht.
julia441 Auf diesen Beitrag antworten »

Das h müsste dann wohl ein k sein.
Ja das habe ich auch gerade gedacht, aber die a_i und b_j kommen ja aus einem Integritätsbereich R also wenn ab=0 gilt dann muss a=0 oder b=0.
Aber jetzt müsste ja für mindestens eine Kombination der a_i und b_j ungleich null sein oder? Ich weiß noch nicht wieso
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist ?

Das war übrigens noch ein Fehler. Polynome haben immer auch Konstanten, die Indices fangen also bei 0 an und nicht bei 1. Das ist aber für diese Aufgabe nicht die entscheidende Seite der Polynome.
 
 
julia441 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt ja.

Okay das wäre eben :


Also "treffen" sich mindestens einmal a_i und b_j die ungleich 0 sind und da diese aus einem Integritätsbereich kommen können diese a_i und b_j nicht gleich 0 sein.
Das müsste das Argument sein oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"mindestens einmal a_i und b_j die ungleich 0 sind" ist noch nicht präzise genug. Was ist ? Betrachte die Obergrenze deiner Summe !
julia441 Auf diesen Beitrag antworten »



Wären es also i+j Monome die ungleich 0 sind?
julia441 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne das macht glaube ich keinen Sinn, ich weiß nicht wirklich...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt genau eine Kombination von Indices, die die obere Grenze erreichen, und das sind die Indices und der Leitkoeffizienten der Faktoren. Noch präziser: ist der Leitkoeffizient des Produkts. Weil die Leitkoeffizienten der Faktoren nicht 0 sind (!!!), ist auch ihr Produkt nicht 0 (!!!). Auf kleinere Indices kommt es gar nicht an, die können verschwinden oder auch nicht, der Leitkoeffizient ist von 0 verschieden, also ist das Produkt nicht das Nullpolynom.
julia441 Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Begründung, dass das Produkt nicht Null ist liegt eben darin, dass die a_i und b_j aus einem Integritätsbereich R kommen richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wäre , so wäre oder , weil der Ring integer ist. Ein Leitkoeffizient ist der Koeffizient mit dem höchsten Index, wenn der Leitkoeffizient 0 Null ist, ist das Poynom das Nullpolynom.
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