Transformation von Zufallsvariablen

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mathlen Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation von Zufallsvariablen
Meine Frage:
Es sei X~U((0,1)) und Y=-log(X)

Bestimmen Sie die Verteilung und Dichte von Y.

Meine Ideen:
Hallo ich habe leider Probleme beim Lösen dieser Aufgabe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Mein erster Ansatz ist folgender:
Wir wissen X ist stetig gleichverteilt. Also ist Fx(x) mit den Grenzen schon eingesetzt. Fx(x)=x-0/1 = x

Nun zu der Transformation: für < steht immer ein kleinergleich

P(Y<x)=P(-log(X)<x)

=P( log(X)>-x) / hier wurde multipliziert mit (-1) => Ungleichheitszeichen dreht sich um
=P( X<e^-x) Das ist mir hier nicht ganz klar. ich habe gelesen, dass eine multiplikation mit einer monoton fallenden Funktion wieder das Ungleichzeichen umdreht ist es also so richtig?

Setzt man nun die transformierte ZV in die Gleichverteilung ein folgt daraus:

Fy(x)=e^-x

Somit ist die Funktion in den Intervallgrenzen 0 und 1 e^-x
In den Grenzen x<0 nimmt sie den Wert 0 an
In den Grenzen x>1 nimmt sie den Wert 1 an

Die Dichte ist ja denn nur die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Vielen Dank für eure Hilfe. Ich hoffe ich hab mich deutlich genug ausgedrückt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: transformation von zufallsvariablen
Zitat:
Original von mathlen
P(Y<x)=P(-log(X)<x)

=P( log(X)>-x) / hier wurde multipliziert mit (-1) => Ungleichheitszeichen dreht sich um
=P( X<e^-x) Das ist mir hier nicht ganz klar. ich habe gelesen, dass eine multiplikation mit einer monoton fallenden Funktion wieder das Ungleichzeichen umdreht

Der letzte Schritt ist nicht richtig. Es wird nicht multipliziert. Es werden beide Seiten exponenziert. Und aus



folgt



Richtig ist also

mathlen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: transformation von zufallsvariablen
Hallo Huggy.

erstmal danke für deinen Beitrag.
Ich dachte das Ungleichheitszeichen ändert sich da wieder,da ich es mit einer monoton fallenden Folge multipliziere (E-Funktion).

Bei der Verteilungsfunktion betrachte ich ja immer

P(X<x)

demnach müsste ich ja


Fy(x)= 1-e^-x in den Grenzen von 0 und 1

falls x < 0 ist es 0

falls x> 1 ist es 1

oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: transformation von zufallsvariablen
Zitat:
Original von mathlen
Ich dachte das Ungleichheitszeichen ändert sich da wieder,da ich es mit einer monoton fallenden Folge multipliziere (E-Funktion).

Noch mal, es wird nicht multipliziert, es wird exponenziert.

Zitat:
Fy(x)= 1-e^-x in den Grenzen von 0 und 1

Nicht ganz. Die Grenzen sind . Beachte, dass dein nicht das ursprüngliche ist. Es wäre vielleicht besser gewesen es zu nennen mit
Das ist richtig. Die sich ergebende Verteilung ist die Exponentialverteilung mit Parameter .

Zitat:
falls x < 0 ist es 0

Ja.
mathlen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok super danke ich habe es jetzt endlich verstanden. Vielen Dank ! Freude

In Aufgabenteil b) ist nun noch nach dem Erwartungswert und der Varianz gefragt.

Ich nehme die allgemeine Formel, dass ich die Dichte mit x multipliziere und dann die Grenzen einsetze.
Nun habe ich Schwierigkeiten die richtigen Grenzen einzusetzen, da diese ja 0 und unendlich ist. Kannst du mir auch hierbei helfen?



lg Mathlen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grenze sollte kein Problem sein. Wenn doch, betrachte für den Erwartungswert



und gehe bei der Varianz analog vor.
 
 
mathlen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huggy,
habe alles lösen können.
Vielen Dank Mit Zunge
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