Mathe-Olympiade 561233

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Mathe-Olympiade 561233
Meine Frage:
561233
Man bestimme die kleinste Primzahl, die sich nicht in der Form

mit nichtnegativen
ganzen Zahlen a und b darstellen lässt.

Meine Ideen:
Ich habe für alle Primzahlen bis 41 Lösungen gefunden. Also vermute ich, dass 41 die Lösung ist. Dann habe ich die Gleichung modulo 41 betrachtet. jedoch gibt es dafür immer noch Lösungen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, 41 ist richtig. Zunächst überprüft man, dass es keine Lösungen für oder gibt, sei also im folgenden und .


1) : Betrachten wir die linke Seite modulo 8, da bekommen wir 7 für gerade und 5 für ungerade , Widerspruch zu .


2) : Modulo 4 ergibt sich, dass gerade sein muss, während sich modulo 3 ergibt, dass auch gerade sein muss. Mit ergibt sich

,

was zwangsläufig auf hinausläuft, was aber keine ganzzahlige Lösung hat.
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