Beweis einer Totalordnung |
| 04.11.2018, 17:40 | Verzweifelt98 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis einer Totalordnung Es ist der Beweis zu führen, dass eine Relation ~ eine Totalordnung. NxN (N ist natürliche Zahl) ist abzählbar und daher f: N -> NxN eine bijektive Abbildung. Sei ~ die Relation auf NxN definiert durch: (m1,n1)~(m2,n2) :<=> f^(-1)((m1,n1)) <(gleich) f^(-1)((m2,n2)) für alle (m1,n1),(m2,n2) element von NxN Meine Ideen: Ich habe schon bewiesen, dass die Relation eine Äquivalenzrelation ist, also reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Damit es eine Totalordnung ist muss noch die Linearität bewiesen werden, also das für alle x,y?R gilt x~y oder y~x. D.h.: f^(-1)((m,n))~f^(-1)((m',n')) oder f^(-1)((m',n'))~f^(-1)((m,n)) Bzw.: f^(-1)((m,n)) <(gleich) f^(-1)((m',n')) oder f^(-1)((m',n')) <(gleich) f^(-1)((m,n)) Mir ist jetzt nur nicht klar wie ich das zu ende beweisen soll. Ich hoffe mir kann jemand helfen, lieben Dank schon mal! |
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| 04.11.2018, 18:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das geht ziemlich durcheinander. Von welcher Funktion f sprichst du, die aus welchen Gründen bijektiv sein soll ? Wenn die Relation durch die Klassen gleicher Urbilder einer beliebigen Abbildung f definiert wird, ist das offensichtlich eine Äquivalenzrelation, da diese zu der Klasseneinteilung von N gehört. Eine Äquivalenzrelation ist symmetrisch, eine Ordnungsrelation ist antisymmetrisch. Also kann diese Relation keine Ordnungsrelation und schon gar keine Totalordnung sein. |
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| 04.11.2018, 18:12 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » |
f ist in der Aufgabenstellung definiert als eine bijektive Abbildung: f: N -> NxN f^(-1) ist die Umkehrabbildung Ich habe schon die Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie (nicht Symmetrie) bewiesen. Habe mich in der Beschreibung nur verschrieben. Dann ist das also eine Ordnungsrelation und keine Äquivalenzrelation? |
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| 04.11.2018, 18:26 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn f bijektiv ist, sind die Klassen einelementige Urbilder. Trotzdem Klassen, also Äquivalenzrelation. Zeige mir bitte deine Beweise für (r),(t),(a), also für die Eigenschaften einer Ordnungsrelation. (Nachtrag: geschenkt, ist klar) Wenn ich das richtig sehe, sind keine 2 verschiedenen Elemente vergleichbar. Noch weiter entfernt kann eine Ordnung gar nicht von einer Totalordnung sein. Das ist eine Ordnung, die jedes Element nur mit sich selbst vergleicht ... irgendwie traurig. 
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| 05.11.2018, 07:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es kann sein, dass ich die Aufgabe falsch verstanden habe, weil sie schwer zu lesen ist. Vielleicht liegt doch eine Totalordnung und keine Aequivalenzrelation vor. |
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| 05.11.2018, 08:09 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bedenke, dass du auf den natürlichen Zahlen eine Totalordnung hast. |
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| 05.11.2018, 08:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hatte (gleich) statt (kleiner gleich) in der Definition der Relation gelesen. Lesefehler lassen sich vermeiden, wenn man LATEX benutzt. |
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