Formelherleitung mit Binomialreihe

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04.11.2018, 18:27	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Formelherleitung mit Binomialreihe Hallo allerseits, für eure Hilfe bei der Herleitung folgender Formel wäre ich sehr dankbar: $\begin{eqnarray} \forall \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{-1,-2,-3,...\}: \frac{1}{(1-z)^{\alpha + 1}} = \sum_{n \geq 0}\binom{n+\alpha}{n}z^n \end{eqnarray}$ Als Tipp habe ich bislang nur, dass man diese Identität über die Binomialreihe erhält. Ich weiß aber leider nicht, wie sich das herleiten lässt, weil ja auch ein Induktionsbeweis nicht möglich ist, da wir nicht auf die natürlichen Zahlen eingeschränkt sind. Freue mich auf Antworten!
04.11.2018, 18:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formelherleitung mit Binomialreihe Schreib dir die Binomialreihe für die linke Seite hin und sag dann, wo du hängst
04.11.2018, 18:49	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formelherleitung mit Binomialreihe Ich kenne nur die Identität $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z} = \sum_{n \geq 0} z^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x+1)^{\alpha} = \sum_{k \geq 0} \binom{\alpha}{k}x^k \end{eqnarray}$ Was meinst du mit "Binomialreihe für die linke Seite"?
04.11.2018, 18:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formelherleitung mit Binomialreihe Die zweite Identität ist die richtige.
04.11.2018, 19:06	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also ich erhalte: $\begin{eqnarray} (1+(-z))^{-\alpha}\cdot\frac{1}{1-z} = ... = \sum_{n \geq 0}z^n\sum_{k=0}^n \binom{-\alpha}{k}(-1)^k \end{eqnarray}$ Und nun komme ich nicht mehr weiter.
04.11.2018, 19:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Exponent ist falsch und rechts steht nur eine Summe. Nochmal
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04.11.2018, 19:14	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du ganz links den Exponenten? Soll ich mit Exponent $\begin{eqnarray} -\alpha - 1 \end{eqnarray}$ anfangen?
04.11.2018, 19:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt du sollst? So steht es doch in deiner Aufgabenstellung, oder nicht?
04.11.2018, 19:24	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber man kann ja diesen Exponenten aufspalten in $\begin{eqnarray} -\alpha \end{eqnarray}$ und -1 und ich habe geglaubt, es wird einfacher, wenn man das macht, weil ja für $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ bereits eine schöne Formel bekannt ist. Aber da ich damit offenbar falsch liege, versuche ich es nun anders (und wie von dir auch vorgeschlagen )
04.11.2018, 19:38	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo URL, nun stehe ich leider schon früher an: $\begin{eqnarray} (1+(-z))^{-\alpha-1} = \sum_{n \geq 0}\binom{-\alpha-1}{n}(-z)^n = \sum_{n \geq 0} \binom{-\alpha-1}{n}(-1)^n z^n \end{eqnarray}$
04.11.2018, 19:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Binomialkoeffizient sieht jetzt nicht so aus, wie du es gern hättest. Kommst du da nicht auf die Idee, den mal explizit aufzuschreiben?
04.11.2018, 20:00	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, habe ich gemacht, aber es hat mir nicht geholfen, darum habe ich es nicht angeführt: $\begin{eqnarray} \binom{-\alpha-1}{n} = \frac{(-\alpha-1)!}{n!\cdot (-\alpha-1-n)!} \end{eqnarray}$ Außerdem habe ich Vorstellungsschwierigkeiten damit, weil er nicht nur aus natürlichen Zahlen besteht. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \alpha! = \Gamma{\alpha + 1} \end{eqnarray}$ gilt, aber nicht, ob bzw. wie es hier hilft. Und ich weiß, dass der Binomialkoeffizient 0 ist, wenn der untere Eintrag größer ist als der obere (zumindest ist das der Fall, wenn nur natürliche Zahlen im Spiel sind).
04.11.2018, 20:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Zähler stehen n absteigende Faktoren, also $\begin{eqnarray} \binom{-\alpha-1}{n} = \frac{(-\alpha-1)(-\alpha-2)\ldots (-\alpha-1-(n-1))}{n!} \end{eqnarray}$
04.11.2018, 20:21	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, da habe ich viel zu kompliziert gedacht. Denn nun können wir in jeden Faktor ein -1 reinmultiplizieren, das Ganze in Binomialkoeffizientenform anschreiben und schon haben wir die gesuchte Identität. Herzlichen Dank, URL!
04.11.2018, 20:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
So war der Plan

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