Beweis mit Fallunterscheidung

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04.11.2018, 21:56	MaDo1707	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Fallunterscheidung Hallo, sitze mal wieder vor einer Matheaufgabe, wo es um Beweise geht. Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig Starthilfe geben. Erstmal zur Aufgabe: Beweisen Sie mithilfe einer Fallunterscheidung die folgende Aussage. Sei S die Menge aller Quadratzahlen, d.h. S = {k2\|k ∈N}. Dann gibt es keine Zahl s ∈ S, die bei der Division durch 3 den Rest 2 lässt. Meine Ansätze wären zurzeit folgende: 3s ∈ S 3s+1 ∈ S 3s+2 ist nicht Element von S oder n^2 = (3m)^2 n^2 = (3m+1)^2 n^2 ist nicht (3m+2)^2 Ich hoffe das ist soweit erst einmal richtig. Trotzdem fehlt mir da noch irgendwie der Anfang. Könnt ihr mir Starthilfe geben und eure Ansätze preisgeben? Wünsche euch noch einen schönen Sonntag und würde mich über Hilfe freuen. LG Marie
04.11.2018, 22:16	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Marie, da du die Frage im "Sonstiges"-Forum gestellt hast gehe ich stillschweigend davon aus, dass es sich um Zahlentheorie handelt? In dem Falle denke ich, hast du sicher die Kongruenzrechnung und deren Rechenregeln kennengelernt? Damit ist die Aufgabe nämlich schnell abgearbeitet und die gewollte(n) Fallunterscheidung(en) kannst du ebenfalls nutzen. Aber vielleicht lasse ich mich dazu auch nur verleiten, weil ja das Semester hier auch erst begonnen hat und das thematisch passen würde Zu deinen Ansätzen: Ich fürchte du hast einfach die verschiedenen Möglichkeiten bei der Divison durch drei aufgeschrieben. Das ist hier nicht zielführend solange du nicht sagst, was es mit $\begin{eqnarray} m,n \end{eqnarray}$ auf sich hat. Außerdem: $\begin{eqnarray} n^{2} = (3m)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{2} = (3m+1)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{2} \neq (3m+2)^{2} \end{eqnarray}$ Es kann ja nur ein ein Fall eintreten bei festen m,n. Worauf möchtest du hinaus?
04.11.2018, 22:28	MaDo1707	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, um ehrlich zu sein weiß ich gerade nicht was du meinst. Also in der Aufgabe steht ja, dass man das anhand einer Fallunterscheidung beweisen soll. Da kann ich dich jetzt weitestgehend verstehen, da ich ja mehrere Möglichkeiten geschrieben habe. So verstehe ich deine Nachricht. Aber im Grunde ist es ja egal an welchem man das jetzt beweist oder? Ganz ehrlich: Ich verstehe die Aufgabe zwar und weiß eigentlich auch was derjenige von mir möchte, aber das alles in Worte fassen fällt mir verdammt schwer. Und du hast Recht, es ist gerade das erste Semester und natürlich alles noch ziemlich neu. Aber wir bekommen für jede Woche Aufgaben mit nach Hause und das waren bis jetzt fast alle Aufgaben wo man was beweisen muss. Aber bis jetzt bekomme ich es immer noch nicht auf die Reihe. Wie würdest du denn die Aufgabe angehen und wie würdest du den Lösungsweg verfassen wenn ich fragen darf? Können auch in den Privaten Chat wechseln. Würde mich echt über Hilfe freuen. Fühle mich ein wenig verloren in dem Gebiet.
04.11.2018, 22:35	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also vom privaten Chat sehen wir mal ab, dafür ist das Board ja da Ok, wir nehmen uns eine natürliche Zahl: Sei $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ Nun gehen wir mal die Möglichkeiten durch, ob k durch 3 teilbar ist oder nicht. Welche sind das?
04.11.2018, 22:43	MaDo1707	Auf diesen Beitrag antworten »
ok Naja k ist durch 3 teilbar ohne Rest, mit Rest 1. K ist aber nicht durch 3 teilbar mit Rest 2. Das wäre dann die Fallunterscheidung, oder?
04.11.2018, 22:52	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst auf drei Fälle hinaus, das stimmt. Aber du gehst schon zu weit wenn du sagst, "k ist nicht durch 3 teilbar mit Rest 2". Wie lässt sich eine durch drei teilbare Zahl noch darstellen (in Abhängigkeit eines anderen Elementes). Wie sieht das dann für die beiden anderen Fälle aus?
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04.11.2018, 23:12	MaDo1707	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich dachte man kann das mit einem vielfachen von 3 beschreiben so wie in der ursprünglichen Nachricht also mit 3s, 3s + 1 und 3s + 2. oder muss man das mit s/3 beschreiben? In der Beweisführung würde ich das mit dem Rest 2 ist nicht Element von S auch nicht annehmen sondern zuerst annehmen dass das stimmt, aber dann beweisen dass dem nicht so ist.
04.11.2018, 23:19	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elemente s sind ja bereits die Quadratzahlen. Wenn du also 3s+2 bildest, hast du ein Element, das Rest 2 hat. Aber genau da wollen wir ja nicht hin. Fang folgendermaßen an: Betrachte die Quadratzahlen $\begin{eqnarray} S = \left\{ k^{2} \| k\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray}$ Nun nehmen wir uns ein Element k und schauen mal was passiert, wenn dieses k durch drei teilbar ist. Dann können wir k doch darstellen als.... ?
04.11.2018, 23:35	MaDo1707	Auf diesen Beitrag antworten »
demnach ist k ein vielfaches von 3? also müsste ich dann im weiteren z.b. (3k + 1)^2 schreiben?
04.11.2018, 23:49	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, aber bitte mit der Schreibweise aufpassen: Sei k teilbar durch 3 $\begin{eqnarray} \Rightarrow k=3m, m\in\mathbb Z \end{eqnarray}$
05.11.2018, 21:40	MaDo1707	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedanke mich vielmals für deine Geduld und deine Hilfe. Unser Übungsleiter hat uns heute gezeigt wie die Aufgabe zu rechnen geht. Anscheinend war ich nicht die einzige Person, die nicht damit klar kam. Wenn du Bock und die Nerven dafür hast, kannst du dir gerne auch mal die neue Aufgabe anschauen die ich hochgeladen habe. Habe auch schon meine kleinen Ansätze dazu geschrieben, in der Hoffnung das sie richtig sind. LG
01.11.2019, 13:48	Balu 15	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie hat deine Lehrerin diese Aufgabe gelöst? Ich stehe gerade vor der gleichen Aufgabe und komme leider nicht weiter. LG
01.11.2019, 14:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ lässt sich in der Form $\begin{eqnarray} n=3k+r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r\in\{0,1,2\} \end{eqnarray}$ schreiben.
03.11.2019, 09:13	Balu 15	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Wie führe ich jetzt den Beweis durch Fallunterscheidung? Ich beginne mit den 3. Fällen: 1. n^2= (3r)^2 2.n^2=(3r +1)^2 3. n^2= (3r+2)^2 Aber wie beweise ich, das es keine Zahl s gibt, die bei der Division durch 3 den Rest 2 lässt? Vielen Lieben Dank im voraus!
03.11.2019, 09:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal den zweiten Fall: $\begin{eqnarray} (3r+1)^2=9r^2+6r+1 \end{eqnarray}$ . Welcher Rest ergibt sich dann bei Division durch 3?
03.11.2019, 20:54	Balu 15	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim 2. Fall erhalte ich als Rest 1. Berechne ich den 3. Fall, ergibt dies ebenfalls Rest 1. Ist das damit auch der Beweis?
03.11.2019, 21:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du auch noch etwas zum ersten Fall sagst, dann ja.
04.11.2019, 07:56	Balu 15	Auf diesen Beitrag antworten »
Fall 1: n^2= (3m)^2=9m^2=3x(3m^2) > Hat den Rest 0 Fall 2: n^2= (3m+1)^2 > Hat den Rest 1 Fall 3: n^2 ungleich (3m+2)^2 > Hat den Rest 1 Wäre das der vollständige Beweis?
04.11.2019, 09:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist zumindest der zentrale Teil des Beweises. Wie formal und exakt du das aufschreiben musst, hängt vom Korrektor ab. Mir würde es so, wie es jetzt aufgeschrieben ist, nicht reichen, weil m und n einfach vom Himmel fallen.

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