Beweise e<3 ohne Binomialtheorem oder log

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RM777 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise e<3 ohne Binomialtheorem oder log
Meine Frage:
Die linke Ungleichung ist kein Problem wegen der Bernoulli Ungleichung.
Es handelt sich hier um eine Übungsaufgabe aus dem Buch Analysis 1 von Hildebrandt.




n > 1 und Element aus N. Ich habe schon in einem anderem Forum gefragt, aber bis jetzt erhielt ich nur Antworten, die das Binomoialtheorem oder log verwenden, beides wurde aber noch nicht eingeführt. Die Aufgabe steht auf Seite 23, es ist die Dritte. Bis jetzt wurden die reelen Zahlen axiomatisch definiert, die natürlichen Zahlen und Induktion erklärt und mit Hilfe des Vollständigkeitsaxiomes gezeigt, dass jede reele Zahl auf eine Fehler von <1 durch eine ganze Zahl abgeschätzt werden kann.

Meine Ideen:

Ich hatte den Ansatz durchInduktion zu beweisen, dass die Menge der natürlichen Zahlen im Intervall leer ist. Für den Induktionsanfangstimmt es der Induktionsschritt ist genaudann erfüllt wenn man zeigen kann,

Hier bin ich aberauch nach mehrstündigen Formelschieben nicht weiter gekommen. Es muss aber eine Antwort geben, die nicht das Binomialtheorem, Wurzeln oder den Logarithmus anwendet, da es kein Sinn machen würde diese Aufgabe schon im 4. Kapitel zu stellen, wo die Sachen noch nicht behandelt wurden. Theoretischkönnte ioch die Aufgabe ja auch durch mein Schulwessen und den Einsetzen von Limes lösen, aber das wäre ja nicht im Sinne der Aufgabe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise, dass e kleiner als 3 ist, ohne dasBinomialtheorem oder log zu verwenden.
Ich würde es mit diesem Ansatz versuchen:

Zeige, daß die Folge monoton fallend ist. Wegen b_5 < 3 folgt relativ schnell die Behauptung. smile
RM777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise, dass e kleiner als 3 ist, ohne dasBinomialtheorem oder log zu verwenden.
Ich möchte zeigen dass gilt. Sie sagen ich muss zeigen, dass die Folge monoton fallend ist. Mit anderen Worten ich müsste mit Induktion zeigen, dass gilt. Ich begreife noch nicht ganz warum dadurch die Behauptung folgen würde. Könnte man diese Eigenschaft in der Induktion benutzen, für die Aussage beim Beweis, dass die Ungleichung auch im Induktionsschritt erhalten bleibt? Im Induktionsschritt wäre ja zu zeigen, dass gilt. Zu diesem Term lasst sich dann folgende Abschätzung machen , da gilt. Nun würde man die Induktionshypothese einsetzen : . Mit dieser Abschätzung ist man allerdings über das Ziel hinausgeschossen. Ich bitte sie deshalb darum den Beweis aufzuschreiben. Ich habe ihre Aussage "Folge b_n monoton fallend"so interpretiert, dass gilt. Die Begriffe Folge, Stetigkeit und Monotomie wurden im Buch noch nicht definiert, falls ich ihren Hinweis falsch verstanden habe sagen sie mir es bitte.
RM777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise, dass e kleiner als 3 ist, ohne dasBinomialtheorem oder log zu verwenden.
Insbesondere verstehe ich nicht warum sie als Exponent bei der Folge n+1 wählen, angenommen ich könnte zeigen, dass die Folge monoton fallend ist -ich wüsste aber auch nicht wie ich das beweisen sollte, da dies äquivalent dazu wäre zu zeigen, dass gilt. Ich wüsste aber nicht wie ich das beweisen könnte, falls sie also versehentlich n+1als Exponenten in ihrer Folge gewählt haben, aber eigentlich n meinten, dann würde ich mich freuen wenn sie den Beweis explizit aufschreiben könnten.

Allerdings ist die Folge, die ich beschrieben habe mit den Exponenten n nicht monoton fallend wie man ganz leicht erkennen kann, man nährt sich ja sozusagen von unten an e (2,2.14,.......,e)

Nein sie können nicht versehentlich den falschen Exponenten gewählt haben sie haben ja auch gesagt, dass erst für b_5 der Wert kleiner als 3 wird. Meine Frage ist deshalb warum genau würde welche Behauptung folgen wenn man zeigen könnte, dass die Folge monoton fallend ist also wenn b_n - b_(n+1) > 0 zeigen könnte.


EDIT(Helferlein): Drei Beiträge zusammengefügt.
RM777 Auf diesen Beitrag antworten »

Sie haben gemeint es reiche aus zu zeigen, dass die Folge b_n monoton fallend ist. Ich habe meinen Ansatz mit der Induktion nun überarbeitet, aber komme leider immer noch nicht auf das gewünschte Resultat. Ich zeige trotzdem hier noch einmal meine Aktualisierung, vielleicht liegt er ja nicht weit von der Lösung. Angenommen es gilt also [Bitte zeigen sie mir wie man das beweisen kann]

Dann gilt also auch:



Leider ist der Nenner größer als der Zehler im letzten Term, deswegen wurde auchnoch nicht gezwigt, dass gilt.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir mal den Fahrplan:
Zeige dass monoton fallend ist. Aus kann man dann etwas über die mit folgern,
Jetzt vergleiche mit
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@RM777

Zum Monotoniebweis: ist eine positive Folge, und als solche genau dann monoton fallend, wenn für alle gilt. Formen wir diesen Quotienten also etwas um:

.

Schon mal von der Bernoullischen Ungleichung gehört?
RM777 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ich habe die Aufgabe lösen können:



mit

Z.z:



bernoulli



und

Deshalb
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bin einverstanden. Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@RM777

In Hinblick auf die eigentliche Behauptung hier im Thread sollte natürlich nicht vergessen werden, die Fälle ergänzend zu betrachten, da diese ja vom Induktionsbeweis nicht erfasst werden.

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Ich hab mal versucht, auch den Teil elementar unter Einsatz der Bernoullischen Ungleichung, aber ohne Vollständige Induktion nachzuweisen. Allerdings macht dieser Nachweis Gebrauch von der Monotonie der Folge , deswegen ist das ganze nicht so zu empfehlen, ich lege die Vorgehensweise aber dennoch mal dar:


Wir betrachten den Kehrwert dieser Potenz und schätzen den nach unten ab. Für ganzzahlige sowie beliebige gilt damit



Davon wieder den Kehrwert genommen und zur -ten Potenz erhoben gilt somit .

Jetzt müssen wir nur groß genug wählen, genügt. Bei dem somit erhaltenen ist streng monoton fallend, und für dann auch , was die Behauptung für diese beweist. Wenn man nun noch weiß, dass streng monoton wachsend ist, muss dann auch für die kleineren Indizes gelten. Augenzwinkern
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