Ergebnis der Produktreihe

07.11.2018, 15:57

xMathematicsx

Ergebnis der Produktreihe

Meine Frage:
Hallo,

wie kommt man darauf, dass
$\begin{eqnarray*} \prod_{n=2}^{N} \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} = \frac{2(N^2 + N + 1)}{3N (N+1))} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich kam so weit..
$\begin{eqnarray*} \prod_{n=2}^{N} \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} = \prod_{n=2}^{N} \frac{(n^3+1)-2)}{n^3+1} = \prod_{n=2}^{N}1 - \frac{2}{n^3+1} = (1 - \frac{2}{n^3+1})^{N-2} \end{eqnarray*}$

Danke!

07.11.2018, 16:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von xMathematicsx
$\begin{eqnarray*} \prod_{n=2}^{N} \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} = \frac{2(N^2 + N + 1)}{3N (N+1))} \end{eqnarray*}$ ?

Falscher Index, es soll wohl $\begin{eqnarray*} \prod_{k=2}^N \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} = \frac{2(N^2 + N + 1)}{3N (N+1))} \end{eqnarray*}$ heißen.

Grundlage ist die raffinierte Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} \frac{k^3-1}{k^3+1} = \frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)} = \frac{(k-1)k}{k(k+1)}\cdot \frac{k^2+k+1}{(k-1)^2+(k-1)+1} \end{eqnarray*}$ ,

die das ganze zu einem (doppelten) Teleskopprodukt macht.

07.11.2018, 16:05

klarsoweit

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RE: Ergebnis der Produktreihe
Eine Anmerkung zur "Idee" von xMathematicsx: wenn im Ergebnis noch der Laufindex des Produkts steht, kann da irgendwas nicht stimmen. smile

07.11.2018, 16:25

HAL 9000

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Es gab da übrigens vor Jahren mal die Mathematikolympiadeaufgabe

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} q_1,q_2,\ldots,q_n \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ) paarweise verschiedene Primzahlen. Man beweise, dass aus dieser Voraussetzung stets
$\begin{eqnarray*} \frac{q_1^3+1}{q_1^3-1}\cdot\frac{q_2^3+1}{q_2^3-1}\cdot \frac{q_n^3+1}{q_n^3-1} < \frac{36}{25} \end{eqnarray*}$
folgt.

die sich im wesentlichen mit der Produktdarstellung in diesem Thread hier knacken lässt. smile

07.11.2018, 16:28

xMathematicsx

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Vielen Dank !

Der letzte Faktor ist mir klar, dass es sich durch ein Teleskopprodukt kennzeichnet.
Nur $\begin{eqnarray*} \frac{k(k-1)}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ ist mir unklar..wenn a_i mein Nenner ist , dann ist der Zähler in dem Fall ja nicht a_i+1 verwirrt

07.11.2018, 16:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von xMathematicsx
Nur $\begin{eqnarray*} \frac{k(k-1)}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ ist mir unklar..wenn a_i mein Nenner ist , dann ist der Zähler in dem Fall ja nicht a_i+1 verwirrt

Also wenn schon, dann $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ statt mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Und doch, es hat diese Darstellung - warum denkst du wohl, habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{(k-1)k}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{k(k-1)}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ geschrieben? Mathematisch ist beides identisch, die erste Darstellung sollte ein Fingerzeig sein, wenn nicht gar ein Wink mit dem Zaunpfahl. Augenzwinkern

07.11.2018, 21:43

xMathematicsx

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Wenn a_k=k(k+1)
dann ist (k-1)k doch a_{k-1} und nicht a_{k+1} oder ? Oder ist das egal ?

07.11.2018, 22:16

HAL 9000

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Das ist doch eine Frage der passenden Festlegung: Wenn man definiert $\begin{eqnarray*} a_k:=(k-1)k \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{(k-1)k}{k(k+1)} = \frac{a_k}{a_{k+1}} \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du unbedingt $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ im Zähler haben willst, dann definiere eben $\begin{eqnarray*} a_k:=\frac{1}{(k-1)k} \end{eqnarray*}$ , dann hast du dein $\begin{eqnarray*} \frac{(k-1)k}{k(k+1)} = \frac{a_{k+1}}{a_k} \end{eqnarray*}$ - kein Problem. Augenzwinkern

08.11.2018, 16:02

xMathematicsx

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Vielen Dank HAL ! smile

Könntest du mir hier vielleicht weiterhelfen ?
Ich soll das unendliche Produkt auf Konvergenz untersuchen
$\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{n}{2}\sin(\frac{1}{n})) \end{eqnarray*}$

Dafür schaue ich ob das Produkt für N gegen unendlich ein von null unterschiedlichen Grenzwert hat
$\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^{N} (1+\frac{n}{2}\sin(\frac{1}{n})) = (1+ \frac{1}{2}\sin(1)) * (1+ \frac{2}{2}\sin(\frac{1}{2})) * (1+ \frac{3}{2}\sin(\frac{1}{3}))*..*(1+ \frac{N}{2}\sin(\frac{1}{N})) \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie komme ich nicht weiter..kann ich das geschickt ausklammern ? Oder sollte ich hier mit einer anderen Umformung weitermachen ?

08.11.2018, 16:22

HAL 9000

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Die Frage kann man klar verneinen: Es ist $\begin{eqnarray*} \sin(x)>\frac{2}{\pi}x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ :

Kann man mit der Konkavität der Sinusfunktion in diesem Intervall begründen. Damit folgt unmittelbar $\begin{eqnarray*} 1+\frac{n}{2}\sin\left(\frac{1}{n}\right) > 1+\frac{n}{2}\cdot\frac{2}{\pi n} = 1+\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

und daraus dann $\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^N \left( 1+\frac{n}{2}\sin\left(\frac{1}{n}\right) \right) > \left( 1+\frac{1}{\pi} \right)^N \to\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Interessant wäre es, die Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1+\frac{n}{2}\sin\left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right) \right) \end{eqnarray*}$

für Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ zu diskutieren. Und da ist das Ergebnis: Divergenz für $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 2 \end{eqnarray*}$ , Konvergenz für $\begin{eqnarray*} \alpha > 2 \end{eqnarray*}$ .

08.11.2018, 16:33

xMathematicsx

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Du hast mir echt weitergeholfen,vielen Dank ! smile

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