Differentialgleichungen - Konstante C

07.11.2018, 19:57

Gregor99

Differentialgleichungen - Konstante C

Meine Frage:
Hallo,

ich bereite gerade eine Mathematik-Vorlesung nach und bin über etwas gestolpert, dass ich nicht ganz verstehe.

Differentialgleichungen sind Gleichungssysteme, die eine Funktion f(x) und deren Ableitung f´(x) beinhalten.

Im Falle:

f´(x) = f(x)

Stellt die Exponentialfunktion die Lösung dar. Also gilt:

f(x) = exp(x)
f´(x) = exp(x)

Nun gilt aber, dass alle Funktionen der Form:

f(x) = c*exp(x)

(wobei c eine beliebige reelle Zahl ist) eine mögliche Lösung darstellen.

Meine Ideen:
Das irritiert mich.

Wenn ich c*exp(x) ableite, erhalte ich über die Ketten- und Faktorregel wieder c*exp(x).

exp(x) = c*exp(x) ist nicht gleich.

Wenn ich also f´(x) = f(x) lösen möchte,

kann ich f(x) = c*exp(x) nicht als Lösung nachvollziehen, wenn f´(x) = exp(x) sein soll.

Wenn f(x) = exp(cx) gelten würde, dann könnte ich das nachvollziehen.
Denn dann wäre f´(x) = c*exp(cx)

Die Bedingung f´(x)=c*f(x) wäre demnach erfüllt mit:

c*exp(cx)=c*exp(cx)

07.11.2018, 21:06

Mulder

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RE: Differentialgleichungen - Konstante C

Zitat:

Original von Gregor99
Im Falle:

f´(x) = f(x)

Stellt die Exponentialfunktion die Lösung dar. Also gilt:

f(x) = exp(x)
f´(x) = exp(x)

Wie habt ihr diese Lösung denn hergeleitet? Das ist eine mögliche Lösung, ja. In dieser Situation ist eben $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie du ja selbst schon festgestellt hast, wird die DGL $\begin{eqnarray*} f(x) = f'(x) \end{eqnarray*}$ durch alle Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = c \cdot \exp(x) \, , \, c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gelöst.

Zitat:

Wenn ich c*exp(x) ableite, erhalte ich über die Ketten- und Faktorregel wieder c*exp(x).

Genau. Und damit ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(x) = f'(x) \end{eqnarray*}$ doch erfüllt. Da bleiben keine Wünsche offen, alles gut.

Das Wesentliche, nämlich dass $\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ sein muss, scheinst du bei deinen Überlegungen irgendwie aus den Augen verloren zu haben, wenn du sowas schreibst wie

Zitat:

Wenn f(x) = exp(cx) gelten würde, dann könnte ich das nachvollziehen.Denn dann wäre f´(x) = c*exp(cx)

Denn da wäre doch $\begin{eqnarray*} f(x) \neq f'(x) \end{eqnarray*}$ . Jedenfalls für $\begin{eqnarray*} c \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

08.11.2018, 12:19

Gregor999

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Vielen Dank für deine Antwort, jetzt verstehe die Intentention meines Dozenten.

f´(x) = f(x) wird einerseits durch f(x)=exp(x) gelöst, aber auch durch f(x)=c*exp(x), da die Ableitung in beiden Fällen wieder der Funktion entspricht.

Wenn aber gelten würde f´(x) = c*f(x), dann müsste aber f(x) = exp(cx) gelten.

Wenn ich solch eine Differentialgleichung mit einem Wachstumsfaktor c lösen soll wie bspw.

P´(t) = c*P(t) löse ich nach c auf und erhalte:

P´(t)/P(t) = c leite ich auf beiden Seiten auf erhalte ich

ln(P(t)) = c*t + k

Jetzt folgt aber wieder ein Schritt, der mich verunsichert:

P(t) = K*exp(ct)

Indem wir die e-Funktion verwenden, verschwindet der Logarithmus und auf der anderen Seite entsteht eine Exponentialfunktion.

Doch warum wird diese e-Funktion jetzt noch mit einer Konstanten K multipliziert?
Mit dem kleinen k aus der Stammfunktion hat das wohl nichts zu tun, oder doch? Bzw. warum verschwindet die Konstante k aus der Stammfunktion im nächsten Schritt einfach?

Die Aufgabe der Konstante K ist mir bewusst.

K = K*exp(0) = P(0)

K legt quasi unsere Population o. Ä. zum Zeitpunkt t=0 fest. Mir ist nur nicht ganz klar wie diese Konstante eingeführt wird, bzw. wie man es mathematisch begründen kann.

08.11.2018, 12:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gregor999
ln(P(t)) = c*t + k

Jetzt folgt aber wieder ein Schritt, der mich verunsichert:

P(t) = K*exp(ct)

Ist ja auch korrekt: Die Exponenzierung ergibt rechts $\begin{eqnarray*} e^{c\cdot t+k} = e^{c\cdot t}\cdot e^k \end{eqnarray*}$ laut Potenzregeln, was man auch als $\begin{eqnarray*} K\cdot e^{c\cdot t} \end{eqnarray*}$ schreiben kann, wenn man $\begin{eqnarray*} K:=e^k \end{eqnarray*}$ setzt (man beachte den Unterschied zwischen Klein- $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und Groß- $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ).

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