Supremum und Infimum von q in Q

08.11.2018, 15:31

Supremium

Supremum und Infimum von q in Q

Meine Frage:
Ich habe nur eine kurze Verständnisfrage:
Ich soll in einer Hausaufgabe das Supremum und Infimum und falls sie existieren das Maximum und Minimum einer Teilmenge von R bestimmen:

$\begin{eqnarray*} B:= {q|q Elemente in Q, q^2 \leq 2} \end{eqnarray*}$

Also da q^2 ja irrational ist wegen Wurzel 2 und es keine Wurzel 2 in Q gibt, dann hat diese Teilmenge doch kein Supremum und Infimum, oder hab ich jzt einen großen Denkfehler???

Meine Ideen:
Wie oben schon beschrieben....

08.11.2018, 16:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Supremium
$\begin{eqnarray*} B:= {q|q Elemente in Q, q^2 \leq 2} \end{eqnarray*}$

Das soll wohl $\begin{eqnarray*} B:=\left\{ q\in\mathbb{Q} \mid q^2\leq 2\right\} \end{eqnarray*}$ heißen.

(Tipp: Geschweifte Klammer in LaTeX mit \{ ... \} )

Zitat:

Original von Supremium
Also da q^2 ja irrational ist wegen Wurzel 2

Wenn du an der Stelle genau das denkst, was du schreibst - ja, dann ist einiges im argen:

Die $\begin{eqnarray*} q\in B \end{eqnarray*}$ sind alle rational, und damit auch deren Quadrate $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ . Was du also hier schreibst, ist ohne jeden Sinn. unglücklich

Richtig wäre: Es gibt kein $\begin{eqnarray*} q\in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q^2=2 \end{eqnarray*}$ (d.h. Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ), deshalb gilt $\begin{eqnarray*} q^2<2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} q\in B \end{eqnarray*}$ . Andererseits kommt man beliebig nahe an $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ heran, wegen der Dichtheit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ...

Da in der Aufgabenstellung explizit von "Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ " gesprochen wird, sind Infimum/Supremum/Minimum/Maximum also auch hinsichtlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gemeint. Und da existieren Infimum/Supremum von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sehr wohl; Minimum/Maximum jedoch nicht, aus o.g. Gründen.

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