Aussagen über Gruppen von Ordnung pq

08.11.2018, 17:17

Deffie94

Aussagen über Gruppen von Ordnung pq

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe leider große Schwierigkeiten bei der Lösung der angehängten Aufgabe.

Ich beginne einfach mal mit:
a) Da G zyklisch ist, kann G durch ein Element g aus G erzeugt werden: $\begin{eqnarray*} | G | = | <g> | = n \end{eqnarray*}$ .
Ein Lemma aus der Vorlesung sagt mir zusätzlich , das wenn Gruppe G zyklisch, dann ist G isomorph zu Z/mZ für genau ein m >= 0, mit m aus den ganzen Zahlen.
Damit könnte ich eventuell analog zum Hinweis auch ein Automorphismus [/latex] f : \mathbb Z /m\mathbb Z -> \mathbb Z /m\mathbb Z [/latex] betrachten.

Da ich hier nicht weiter komme, habe ich versucht es wenigstens anhand eines kleinen Beispiels mal zu testen: Sei $\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z / 4 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{\times } = \left\{ 1,3\right\} \end{eqnarray*}$ und es existieren $\begin{eqnarray*} f_{1}, f_{2} \in Aut( \mathbb Z / 4 \mathbb Z ) \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} f_{1}(0) =0, f_{1}(1) =1, f_{1}(2) =2, f_{1}(3) =3,<br /> f_{2}(0) =0, f_{2}(1) =3, f_{2}(2) =2, f_{2}(3) =1 \end{eqnarray*}$ , und hierbei gibt es keine weiteren Automorphismen. Ich hoffe dies ist überhaupt das was hier versucht wird allgemein zu zeigen? Wäre sehr erfreut über jeglichen Tipp wie ich hier weiter vorgehen kann.

Meine Ideen:
zu b) a ist Einheit in Z/nZ wenn ein b existiert für das ab = 1 mod n gilt, d.h. es existiert eine ganze Zahl k mit ab + kn = 1 (dies folgt aus der Darstellung welche mittels erweitertem Euklidischem Algorithmus erreicht werden kann, hier gilt dann ggT(a,n)=1 ) genau dann wenn a und n teilerfremd. Die Eulersche Phi-Funktion $\begin{eqnarray*} \phi (n) \end{eqnarray*}$ gibt ja gerade die Anzahl aller zu n teilerfremden Zahlen m an mit m<=n. Somit gilt $\begin{eqnarray*} \phi (n) = |\mathbb Z/ n \mathbb Z^{\times}| \end{eqnarray*}$ . Eine Primzahl p ist per Definition ja nur durch 1 und sich selbst teilbar und somit insbesondere teilerfremd zu allen m<=p-1, somit folgt auch sofort $\begin{eqnarray*} \phi (p)= p-1 \end{eqnarray*}$ .

zu c)
Hier habe ich schon Probleme den Tipp zu verstehen, wie soll ich diese vorgeschlagene Funktion [/latex] f : G(q) -> Aut(G(p)) [/latex] mit $\begin{eqnarray*} f (y)(x) = yxy^{-1} \end{eqnarray*}$ verstehen ? Ist dies gemeint als $\begin{eqnarray*} y \mapsto f(y)(x) = f(yx) = yxy^{-1} \end{eqnarray*}$ oder wie habe ich diese Abbildung zu verstehen? (mir ist diese Schreibweise mit 2 einzelnen Elementen x,y jeweils umklammert, unbekannt)

zu d) später.

09.11.2018, 17:10

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RE: Aussagen über Gruppen von Ordnung pq
zu a) Wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger ist und f ein Automorphismus, dann ist auch $\begin{eqnarray*} f(g)\in G \end{eqnarray*}$ , kann also mittels $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ dargestellt werden. Dann noch über die Ordnung von $\begin{eqnarray*} f(g) \end{eqnarray*}$ nachgedacht und man sieht vielleicht eine Verbindung zu $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$

b) ist ok

c) $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \text{Aut}(G(p)) \end{eqnarray*}$ also eine Abbildung von G(p) auf sich.
Also kann man f(y) an der Stelle $\begin{eqnarray*} x\in G(p) \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Hier wird eben definiert, dass $\begin{eqnarray*} f(y)(x)=y^{-1}xy \end{eqnarray*}$ sein soll

10.11.2018, 12:55

Deffie94

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Danke erstmal für deine Antwort!

zu a)
Wenn ich die Ordnung von f(g) betrachte, dann gilt nach kleinem Satz von Fermat das die Ordnung des Elements aus G, die Ordnung der gruppe teilen muss:
$\begin{eqnarray*} ord(f(g)) | n = |G| \end{eqnarray*}$
Heißt dies also das es genau eine Anzahl m von Automorhismen in G gibt, wobei m genau die Anzahl an Teiler von G ist?
Dies wäre aber doch genau das Gegenteil von $\begin{eqnarray*} |(\mathbb Z /n \mathbb Z /)^{\times } |= \phi (n) \end{eqnarray*}$ , welches die Anzahl aller teilerfremden Zahlen zu n ist.

Oder wo liegt mein Denkfehler?
Und zusätzlich reicht es doch nicht aus wenn zwei Gruppen derselbem Ordnung sind um isomorph zu sein !?

zu c)
Ich versuche hier einfach mal den Instruktionen zu folgen:
Zeige also das f Homomophismus ist, dann muss gelten:
$\begin{eqnarray*} f(y_{1} \cdot y_{2} ) = f(y_{1}) \cdot f(y_{2} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_{1} ,y_{2} \in G(q) \end{eqnarray*}$

mein Versuch:
linke Seite: $\begin{eqnarray*} f(y_{1} \cdot y_{2} )(x) = y_{1} y_{2}x y_{1}^{-1} y_{2}^{-1} \end{eqnarray*}$
rechte Seite: $\begin{eqnarray*} f(y_{1}) \cdot f(y_{2} )(x) = f(y_{1}) \cdot ( y_{2}x y_{2}^{-1}) = y_{1} y_{2}x y_{2}^{-1} y_{1}^{-1} \end{eqnarray*}$
nun sind aber die Indizes der beiden Inversen Elemente vertauscht und bin mir auch nicht sicher ob ich hier so vorgehen kann!?

Wenn f(y) = g = id gilt könnte ich wohl folgern dass:
$\begin{eqnarray*} f(y) (x) = g(x) = id(x) = x = yxy^{-1} \Leftrightarrow xy = yx \end{eqnarray*}$ durch Multiplikation von rechts mit y.
Leider weiß ich aber auch nicht wie ich zeigen kann das f(y) = id gilt...
Würde mich hier nochmal sehr über Tipps freuen smile

10.11.2018, 13:06

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Du meinst den Satz von Lagrange, nicht Fermat. Überleg dir, dass f(g) auch ein Erzeuger von G ist.

10.11.2018, 13:23

Deffie94

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Wenn f(g) Erzeuger von G ist, muss ja gelten $\begin{eqnarray*} |<f(g)>| =|G| = n \end{eqnarray*}$ also müsste doch f(g) auch von Ordnung n sein.

Aber wieso muss f(g) auch Erzeuger von G sein, das wäre doch nur im Falle f = id, denn dann ist f(g) =g und g ist ja Erzeuger von G, oder wo liegt mein Denkfehler ?

Sorry sehe leider noch nicht worauf du hinaus willst...

10.11.2018, 13:32

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Du vergisst die ganzen Besonderheiten, die wie hier haben: G ist zyklisch, f ein surjektiver Homomorphismus

10.11.2018, 16:06

Deffie94

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Sorry ich musste mir nochmal ein Beispiel zurecht legen um zu merken das die Automorphismus Vorraussetzung ja schon beinhaltet das f(g) ein Erzeuger sein muss, da jedes Element aus der Startmenge genau auf ein Element aus der Zielmenge abgebildet werden muss ohne dabei die homomorphiebedingung zu verletzen.
Und Erzeuger sind dann gerade die Elemente welche von teilerfremder Ordnung zu |G| = n, also gibt es genauso viele Elemente in Aut(G) wie Einheiten in Z/nZ.
Reicht die Erklärung denn für Isomorphie oder muss ich auch einen konkreten Isomorhismus dazu angeben?

c) Würde mich hierzu auch nochmal über einen Tipp freuen smile

10.11.2018, 17:13

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Die Frage hast du doch schon selbst beantwortet

Zitat:

Und zusätzlich reicht es doch nicht aus wenn zwei Gruppen derselbem Ordnung sind um isomorph zu sein !?

Zum Beispiel sind $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und die Kleinsche Vierergruppe nicht isomorph.

Wenn es dir leichter fällt, betrachte statt G dazu isomorphe Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und überlege dir, was du über das Bild der 1 aussagen kannst.

Ich werde nicht simultan über zwei verschiedene Aufgabenteile reden smile

c) muss warten

11.11.2018, 17:03

Deffie94

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Stimmt auch wieder, zum jetzigen Zeitpunkt weiß ich also erstmal nur das gilt:

$\begin{eqnarray*} |(\mathbb Z/n \mathbb Z )^{\times }|= \phi(n) = |Aut(G)| \end{eqnarray*}$

Wenn ich anstatt G nun Z/nZ betrachte, würde ich behaupten das das Bild wie folgt aussieht:

$\begin{eqnarray*} Im(1):=\left\{ g_{1} \in \mathbb Z/n \mathbb Z | \exists g_{2} \in \mathbb Z/n \mathbb Z : 1\cdot g_{1} = g_{2}\right\} \end{eqnarray*}$
Bin mir hier aber mit der Notation nicht ganz sicher.
Aber die 1 ist ja das neutrale Element in der Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/n \mathbb Z; \cdot ) \end{eqnarray*}$ , sie kann also jedes g aus G auf sich selbst abbilden. Heißt dies dann das das Bild gleich die ganze Gruppe ist? Bin hier etwas verwirrt, nach meiner obigen Notation gilt das also für alle $\begin{eqnarray*} g_{1} = g_{2} \end{eqnarray*}$ . Verstehe noch nicht ganz was dies mir bringt ?

11.11.2018, 17:36

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Wir haben doch einen festen Automorphismus $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Also ist dieses

Zitat:

Im(1):=

nur Unsinn.

Nachdem der Übergang zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die Sache für dich nicht einfacher macht, bleiben wir mal in der ursprünglichen Gruppe $\begin{eqnarray*} G=<g> \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} f(g^k)=(f(g))^k \end{eqnarray*}$ und der Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(g) \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Außerdem gibt es ein $\begin{eqnarray*} l_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(g)=g^{l_f} \end{eqnarray*}$ .
Damit ist $\begin{eqnarray*} n=ord(g^{l_f})=\frac{ord(g)}{ggt(ord(g),l_f)} = \frac{n}{ggt(n,l_f)} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} l_f\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ .

11.11.2018, 19:18

Deffie94

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Sorry hatte deinen Tipp wohl doch falsch verstanden, ich vermute nun du wolltest darauf hinaus das die f die 1 nur auf Einheiten von Z/nZ abbilden kann, somit wäre das Bild der 1 genau $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/n \mathbb Z )^{\times } \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Danke für die Gleichungskette, ich kann das super nachvollziehen , bis auf die zweite Gleichung, wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} ord(g^{l} ) = \frac{ord(g)}{ggt(ord(g),l)} \end{eqnarray*}$ das war mir jetzt garnicht so bewusst, ist dies eine Folgerung aus Lagrange oder woher kommt das?

11.11.2018, 19:45

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Zitat:

wäre das Bild der 1 genau $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Nochmal, nein! Das Bild der 1 unter f ist eine Einheit aber nicht die Gruppe der Einheiten!
Die Formel für die Ordnung von $\begin{eqnarray*} g^l \end{eqnarray*}$ ist eigentlich Standard.

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