Gilt meine Induktionsvoraussetzung für 1 bis n oder nur für n?

09.11.2018, 15:27	A22	Auf diesen Beitrag antworten »
Gilt meine Induktionsvoraussetzung für 1 bis n oder nur für n? Meine Frage: Ich habe folgendes Problem; ich versuche eine Gleichung über die vollständige Induktions zu beweisen. Meine Induktionsvoraussetzung sei A(n) und daraus möchte ich A(n+1) zeigen. Im letzten Schritt, dem Induktionsbweis, finde ich nach vielem Drehen und einsetzen, auflösen, die Gleichung A(n-1) wieder. Gilt A(n-1) nach IV oder muss ich dafür im Induktionsanfang quasi 2 Fälle zeigen, bsw. n=1 und n=2, sodass ich die IV folgendermaßen ändern kann: IV: Ang. A(n-1) und A(n) gelten. Meine Ideen: Ich habe damals gelernt, dass die Induktionsvoraussetzung A(n) aussagt, dass A für alle x = {1,2,..,n} gilt. Aber ich bin mir nicht mehr sicher, ob das stimmt.
09.11.2018, 17:17	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} A(k) \end{eqnarray}$ gilt nach Induktionsvoraussetzung in der klassischen Induktion erst einmal nur für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ selbst. Die starke Induktion ist, wie der Name schon sagt, eine stärkere Form, dort darf man annehmen, dass $\begin{eqnarray} A(k) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in\{1,...,n\} \end{eqnarray}$ gilt. Wie du allerdings schon richtig gesehen hast, musst du dafür dann $\begin{eqnarray} A(1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A(2) \end{eqnarray}$ von Hand zeigen, andernfalls weißt du nicht, warum $\begin{eqnarray} A(2) \end{eqnarray}$ gelten sollte. Offenbar funktiioniert der Induktionsschritt nämlich nicht für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ (also für die Folgerung auf $\begin{eqnarray} A(2) \end{eqnarray}$ ), wenn dafür die nicht mit Sinn zu belegende Aussage $\begin{eqnarray} A(0) \end{eqnarray}$ gebraucht wird, diese gibt es ja gar nicht.

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