Berechnen eines Parameters aus einer (bedingten) Wahrscheinlichkeit

09.11.2018, 16:59

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Berechnen eines Parameters aus einer (bedingten) Wahrscheinlichkeit

Gegeben sind die ZV $\begin{eqnarray*} X_1, X_2 \end{eqnarray*}$ (nicht notwendigerweise voneinander unabhängig) und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ (unabhängig von $\begin{eqnarray*} X_{1,2} \end{eqnarray*}$ ) mit allen Verteilungen. Gesucht ist nun ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , mit dem

$\begin{eqnarray*} P(X_1 + X_2 \leq Y + c) = \gamma \end{eqnarray*}$

erfüllt ist bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

Fall 1: $\begin{eqnarray*} X_1, X_2, Y \end{eqnarray*}$ sind nicht realisiert: dann ist nach geeigneter Transformation $\begin{eqnarray*} Z_1 = X_1 + X_2 - Y \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} P(Z_1 \leq c) = \gamma \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} F_{Z_1}(c) = \gamma \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} c = F_{Z_1}^{-1}(\gamma) \end{eqnarray*}$ ,

und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine feste Zahl.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ wurde realisiert und gemessen, dann kann ich mit $\begin{eqnarray*} Z_2 = X_2 - Y \end{eqnarray*}$ wieder eine Zahl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aus

$\begin{eqnarray*} P(Z_2 \leq c - x_1) = \gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{Z_2}(c - x_1) = \gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c - x_1 = F^{-1}_{Z_2}(\gamma) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c(x_1) = F^{-1}_{Z_2}(\gamma) + x_1 \end{eqnarray*}$

berechnen.

Fall 3, der mich eigenlich interessiert: es wird angenommen, dass $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ später gemessen werden kann, und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ erst festgelegt werden muss, wenn ein tatsächlicher Wert $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ (aber nicht $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ) feststeht. Jetzt ist aber der konkrete Wert $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ nicht bekannt. Wie ist dann $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ verteilt (ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ dann überhaupt eine Zufallsvariable?)?

Mein Ansatz 1: ich tue analog Fall 2 so als ob $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ gegeben wäre, und setzte zum Schluss jede Möglichkeit inkl. ihrer Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} c(x_1) = F^{-1}_{Z_2}(\gamma) + x_1 \rightarrow C = F^{-1}_{Z_2}(\gamma) + X_1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} f_C(c) = f_{X_1}(F^{-1}_{Z_2}(\gamma) + x_1) \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz 2: mit der bedingten Wahrscheinlichkeit und einem $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ nach Fall 2 lautet die Gleichung

$\begin{eqnarray*} P(X_1 + X_2 \leq Y + c | X_1 = x_1) \stackrel{?}{=} \frac{ P(x_1 + X_2 \leq Y + c) }{ f_{X_1}(x_1) } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{ P(Z_2 \leq c - x_1) }{ f_{X_1}(x_1) } = \frac{ F_{Z_2}(c - x_1) }{ f_{X_1}(x_1) } = \gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{Z_2}(c - x_1) = f_{X_1}(x_1) \gamma \end{eqnarray*}$ ...

Auch wenn man das jetzt prinzipell nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ (welches dann aber weder als ZV noch als Dichtefunktion dasteht) auflösen könnte schaut das jetzt schon falsch aus.

Bitte um Tipps oder Hinweise zu meinem Denkfehler bzw. falschen Annahmen. Danke!

10.11.2018, 01:19

HAL 9000

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In Fall 1 rechnest du $\begin{eqnarray*} P(X_1+X_2\leq Y+c))=\gamma \end{eqnarray*}$ korrekt durch.

In Fall 2 setzt du $\begin{eqnarray*} P(X_1+X_2\leq Y+c \mid X_1=x_1)=\gamma \end{eqnarray*}$ an, benutzt in der weiteren Rechnung dabei aber

$\begin{eqnarray*} P(X_1+X_2\leq Y+c \mid X_1=x_1) = P(X_2-Y\leq c-x_1 \mid X_1=x_1) \stackrel{?}{=} P(X_2-Y\leq c-x_1) \end{eqnarray*}$ ,

was im letzten Schritt falsch ist: Das gilt nur, wenn $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2-Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind - was angesichts deines "nicht notwendigerweise voneinander unabhängig" i.a. nicht stimmt. unglücklich

In Fall 3 verstehe ich komplett deine Intentionen nicht: "Erst später gemessen" heißt für mich, in dem Moment unbekannt, was für mich einfach wieder nur Fall 1 ist. Und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ plötzlich zur Zufallsvariable umdekorieren zu wollen, das klingt für mich ziemlich unseriös. Irgendwas scheint in der Modellierung auf Sand gebaut.

10.11.2018, 13:47

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Danke erstmal für die Antwort! Wie du schon gemerkt hast fällt es mir nicht ganz leicht die Frage zu formulieren. Ich versuche daher erstmal an weiter vereinfachtem Bsp. ähnlich Fall 2 klarzumachen was ich nicht verstehe (mir selbst vor allem Augenzwinkern

).

Mit den oben gegebenen $\begin{eqnarray*} X_1, X_2 \end{eqnarray*}$ inkl. Voraussetzungen suche ich die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \gamma = P(X_1 + X_2 <= c | X_1 = x_1) \end{eqnarray*}$ ,

allerdings ohne einen konkreten Wert für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ einzusetzen, d.h. es wird sich ein $\begin{eqnarray*} \gamma = \gamma(x_1) \end{eqnarray*}$ ergeben?

$\begin{eqnarray*} P(X_1 + X_2 <= c | X_1 = x_1) = P(X_2 \leq c-x_1 | X_1 = x_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{-\infty}^{c-x_1} f_{X_2 | X_1}(x_2, x_1) \dd x_2 = \int_{-\infty}^{c-x_1} \frac{ f_{{X_1}{X_2}}(x_1, x_2) }{f_{X_1}(x_1)} \dd x_2 = \gamma \end{eqnarray*}$

Aus der letzten Beziehung kann man jetzt bei gegebenem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ entweder ein $\begin{eqnarray*} \gamma(x_1) \end{eqnarray*}$ oder umgekehrt bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} c(x_1) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ist dieser Rechenweg korrekt? Kann im Fall vom gegebenen $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c(x_1) \end{eqnarray*}$ dann als Zufallsvariable aufgefasst werden?

12.11.2018, 17:01

HAL 9000

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Wieso Zufallsvariable? Wenn du tatsächlich eine Funktion $\begin{eqnarray*} c=c(x_1) \end{eqnarray*}$ findest mit konstanten

$\begin{eqnarray*} \gamma = P(X_1+X_2\leq c(x_1) \mid X=x_1) \end{eqnarray*}$ ,

dann ist das eben eine reelle Funktion $\begin{eqnarray*} c:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , aber doch keine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} c:\;\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Insofern verstehe ich nicht, was du meinst bzw. damit beabsichtigst.

13.11.2018, 15:24

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Dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ so wie beschrieben keine Zufallsgröße sondern eine normale Funktion $\begin{eqnarray*} c(x_1) \end{eqnarray*}$ ist hätte ich mir eigentlich selbst beantworten können, da habe ich vorschnell gefragt.

Worum es mir eigentlich geht, und was ich auch unter Fall 3 beschreiben wollte, ist, welche Verteilung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ erhalte ich, wenn ich in meiner Funktion $\begin{eqnarray*} c(x_1) \end{eqnarray*}$ die Variable $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ wieder als ZV $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ annehme?

Simulieren würde man das (ausgehend von $\begin{eqnarray*} P(X_1 + X_2 <= c) = \gamma \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, $\begin{eqnarray*} \gamma = \mathrm{const} \end{eqnarray*}$ ) so:

Schleife über $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,N \end{eqnarray*}$ :
1. Ziehe ein zufälliges $\begin{eqnarray*} x_1[i] \sim X_1 \end{eqnarray*}$ .
2. Berechne aus $\begin{eqnarray*} P(X_2 \leq c-x_1[i] | X_1 = x_1[i]) = \gamma \end{eqnarray*}$ einen Wert $\begin{eqnarray*} c[i] \end{eqnarray*}$ zum vorhin gezogenen $\begin{eqnarray*} x_1[i] \end{eqnarray*}$ .

Welche Verteilung haben dann alle so ermittelten $\begin{eqnarray*} c[i] \end{eqnarray*}$ zusammen? Darf (muss) ich da von der vorhin ermittelten Funktion $\begin{eqnarray*} c = c(x_1) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} C = c(X_1) \end{eqnarray*}$ übergehen und $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ eben entsprechend transformieren?

16.11.2018, 22:07

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Zitat:

Darf (muss) ich da von der vorhin ermittelten Funktion $\begin{eqnarray*} c = c(x_1) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} C = c(X_1) \end{eqnarray*}$ übergehen und $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ eben entsprechend transformieren?

Der Funktionsname ist schlecht gewählt. Ich schreibe lieber $\begin{eqnarray*} c = g(x_1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der Funktion, die ich aus $\begin{eqnarray*} P(X2 \leq c - x1|X1=x1) = \gamma \end{eqnarray*}$ zumindest implizit erhalte.

Siehst du HAL oder jemand anders eine einfache Möglichkeit an die Verteilung von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ zu kommen? Zuerst die ZV $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ mittels bedingter Wahrscheinlichkeit zu $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ zu machen, dann eine Funktion zu bestimmen, und zum Schluss wieder $\begin{eqnarray*} g(x_1) \rightarrow g(X_1) \end{eqnarray*}$ zu setzen, erscheint mir wie mit der Kirche ums Kreuz zu fahren. Aber vielleicht gibts da ja keinen direkteren Weg?

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