Durchschnitt von Mengenfolgen

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09.11.2018, 19:49	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt von Mengenfolgen Meine Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (A_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge von offenen Teilmengen eines metrischen Raums $\begin{eqnarray} (\Omega,d) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} A_n \end{eqnarray}$ offen. Ich verstehe leider nicht ganz, was mit einer Folge von Mengen gemeint ist. Kann man diese Aufgabe gleichsetzen mit: Seien $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ offene Teilmengen eines metrischen Raumes $\begin{eqnarray} (\Omega,d) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \bigcap_{k \in \mathbb N} A_k \end{eqnarray}$ offen? Oder ist das nicht das gleiche? Freue mich über jeden eurer Hinweise.
09.11.2018, 22:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht das gleiche, denn in $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ ist k nicht definiert. Übrigens ist die Behauptung falsch, mache ein einfaches Gegenbeispiel.
10.11.2018, 11:06	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde gerne ein Gegenbeispiel machen aber mir fehlt irgendwie die Vorstellung einer Folge von Mengen. Was ist das genau? Was kann ich mir darunter vorstellen? Wenn es eine Folge im herkömmlichen Sinn ist, dann hat sie ja “nur” Folgenglieder welche wiederum Punkte sind und der Durchschnitt von diesen Punkten kann nicht offen sein, wobei dann meine Folgenglieder an sich schon nicht offen sind. Aber ich bezweifle, dass das wirklich dieselbe Definition sein kann.
10.11.2018, 13:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: $\begin{eqnarray} (A_n)_{n\in\mathbb N}=((-1,n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A_n\subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ ist eine Folge immer größer werdender offener Intervalle. Der Durchschnitt dieser Folge ist $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ , also offen. Mache ein einfaches Gegenbeispiel.
10.11.2018, 14:14	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Ginge: $\begin{eqnarray} ((5-\frac{1}{n},7))_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ ? Dann wäre der Durchschnitt doch halboffen oder?
10.11.2018, 14:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein schönes Beispiel, und auch noch selbstgestrickt. Halboffen ist nicht offen, das passt.
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10.11.2018, 14:47	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaa super! Dann habe ich da endlich durchgeblickt Ich hätte noch eine kurze Frage zur $\begin{eqnarray} \sigma - \end{eqnarray}$ Algebra: Angenommen mein $\begin{eqnarray} \Omega=[0,1] \end{eqnarray}$ und ich muss eine von F erzeugte $\begin{eqnarray} \sigma - \end{eqnarray}$ Algebra bestimmen. Wobei $\begin{eqnarray} F=\{[0,\frac{1}{4}),(\frac{3}{4},1]\} \end{eqnarray}$ . Wenn ich mir nun eine $\begin{eqnarray} \sigma - \end{eqnarray}$ Algebra erzeugen will muss für diese doch gelten, dass auf jeden Fall $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ darin enthalten sind. Weiters muss aber auch die Menge selbst enthalten sein oder? Also auch $\begin{eqnarray} \{[0,\frac{1}{4}),(\frac{3}{4},1]\} \end{eqnarray}$ . Und außerdem muss das Komplement $\begin{eqnarray} F^{c} \end{eqnarray}$ und alle Vereinigungen und Durchschnitte in der $\begin{eqnarray} \sigma - \end{eqnarray}$ Algebra liegen. Wenn ich das nun alles zusammennehme komme ich auf: $\begin{eqnarray} \sigma (F) = \{\emptyset, \Omega, \{[0,\frac{1}{4}),(\frac{3}{4},1]\}, \{[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]\}\} \end{eqnarray}$ Wäre das dann korrekt? Und kann ich dann sagen, es ist die kleinste $\begin{eqnarray} \sigma - \end{eqnarray}$ Algebra? Immerhin kann ich kein Element wegnehmen, sodass F immer noch enthalten ist und ich nichts hinzufügen könnte.
10.11.2018, 18:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es. Für jede beliebige Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ und eine Teilmenge $\begin{eqnarray} F\in \Omega \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \Sigma=\{\emptyset ,F,F^c,\Omega \} \end{eqnarray}$ die kleinste $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra, die $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ enthält. ( Das habe ich zur Sicherheit hier nochmal nachgelesen: https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra )
11.11.2018, 11:02	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Super perfekt! Danke für deine Hilfe
11.11.2018, 11:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
gerne. Übrigens habe ich für die erste Aufgabe noch ein hübsches Beispiel: $\begin{eqnarray} (A_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ =offene Kugel um einen Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ mit Radius $\begin{eqnarray} 1/n \end{eqnarray}$ . Der Durchschnitt all dieser offenen Kugeln ist sogar abgeschlossen.

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