Einseitige Grenzwerte sin(1/x)

10.11.2018, 14:28

SM!LE

Einseitige Grenzwerte sin(1/x)

Guten Tag,

ich sitze gerade an meinem Übungsblatt für Mathematik I und folgende Aufgabe lässt mich gerade verzweifeln:

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb R \setminus \{0\}\rightarrow ~\mathbb R, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x)=sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: Die einseitigen Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \downarrow 0}{f(x)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \uparrow 0}{f(x)} \end{eqnarray*}$

existieren nicht.

Meine bisherigen Überlegung:

Für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} \left(x_n\right) \end{eqnarray*}$ einzusetzen und mich der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ von rechts und von links anzunähern.

Für $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ weiß ich, dass die einseitigen Grenzwerte die folgenden sind:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \downarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)}=+\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \uparrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)}=-\infty \end{eqnarray*}$

Da der Sinus nur Werte zwischen $\begin{eqnarray*} \left(-1,1\right) \end{eqnarray*}$ annehmen kann weiß ich aktuell nicht wie ich weitermachen soll bzw was mit dem Grenzwert passiert, wenn ich den Sinus von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ bilde.

Ich ich habe gelesen, dass man für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Folge $\begin{eqnarray*} \left(x_n\right)=\frac{1}{\pi n+\pi/2} \end{eqnarray*}$ einsetzen soll um somit durch $\begin{eqnarray*} sin\left(\frac{1}{x_n}\right)=\left(-1\right)^n \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Jedoch weiß ich nicht wie ich auf die Folge $\begin{eqnarray*} \left(x_n\right) \end{eqnarray*}$ kommen soll.

Ich wäre für jeden Tipp dankbar.

Mit freundlichen Grüßen.

10.11.2018, 14:33

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RE: einseitige Grenzwerte sin(1/x)

Zitat:

Jedoch weiß ich nicht wie ich auf die Folge (xn) kommen soll.

Was meinst du? Die Folge hast du doch in der Zeile darüber schon hingeschrieben - wenn auch etwas unorthodox

10.11.2018, 14:35

SM!LE

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Auf die Folge bin ich bei meinen Recherchen gestoßen, jedoch wurde nicht erläutert wie man auf diese Folge gekommen ist.

10.11.2018, 14:51

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Das ist das Problem, wenn man voreilig recherchiert statt sich selbst ausreichend mit dem Problem herumzuschlagen Augenzwinkern

Nix für ungut, ich weiß schließlich nicht, wie lange du an dem Problem gearbeitet hast.
Aber wenn man die Lösung mal gefunden hat, dann ist die Katze eben aus dem Sack. Was will man da noch herleiten.
Man kann höchstens im Nachhinein motivieren, dass man eben die Oszillationen des Sinus ausnutzt und überlegt, wo die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ angenommen werden.

10.11.2018, 17:25

SM!LE

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Danke für die Hilfe.

Ich und meine Kommilitonen sitzen seit Dienstag an diesem Problem.
Mir fallen die mathematischen Gedankengänge noch recht schwer.
Ich hoffe das ändert sich noch.
Ich weiß was du meinst und normalerweise probiere ich auch so lang bis ich eine Lösung gefunden habe aber hierbei hatte ich leider keinerlei Ansatz.

Macht man das dann immer so, dass meine eine alternierende Reihe nimmt um zu beweisen, dass eine Funktion keine einseitigen Grenzwerte hat ?

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

10.11.2018, 17:32

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Man muss am Anfang des Studiums schon manchmal knobeln, das geht (fast) allen so.
Der steinige Weg vom Gehirnbesitzer zum Gehirnbenutzer Augenzwinkern

"Immer so" ist eine gefährliche Sache, sie verstellt mitunter einen einfachen Weg zur Lösung.
Eine alternierende Reihe ist hier übrigens nirgens zu sehen. Hättest du statt der gegebenen Funktion f die Funktion f+1, also den Graph um eins nach oben verschoben, würde da auch nichts alternieren, jedenfalls nicht im Sinne eines alternierenden Vorzeichens.

Man kann sich bei derlei Fragestellungen auf die Suche nach zwei verschiedenen Funktionswerten machen, die an unendlich vielen Stellen angenommen werden, hier eben 1 und -1.

10.11.2018, 18:18

SM!LE

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Ich merke schon verwirrt

Sorry ich meinte nicht $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ mit der alternierenden Reihe.
Oder ist das auch keine ? verwirrt

Vielen Dank nochmal für die schnelle und kompetente Hilfe.
Gibt es da irgendwelche Lektüre oder Seiten im Internet die einem die Herangehensweise an solche mathematischen Probleme etwas näher bringt oder kommt das mit Zeit und Übung von allein?

Mit freundlichen Grüßen

SM!LE

10.11.2018, 18:25

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ich sehe gerade, das die genannte Folge für deine Aufgabe gar nicht brauchbar ist, weil du zwei einseitige Grenzwerte betrachten sollst. Pardon. Für die genannte Folge gilt ja nur $\begin{eqnarray*} x_n\to 0 \end{eqnarray*}$ - das aber immerhin monoton fallend.

Du brauchst also noch eine passende Folge, die von unten gegen 0 konvergiert.

Edit: "Nicht brauchbar" ist zu pessimistisch. $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ zeigt dir, dass der rechtsseitige Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht existiert.
Jetzt benutzt man die Symmetrie von f und kann sofort feststellen, dass der linksseitige Grenzwert auch nicht existieren kann

10.11.2018, 19:54

SM!LE

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Okay und es würde dann ausreichen, wenn ich nachweise, dass es keinen rechtsseitigen Grenzwert gibt und die Funktion symmetrisch ist ?

Symmetrie dann einfach nachweisen durch:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ ?

Sorry für die ganzen vermutlich trivialen Fragen.

Mit freundlichen Grüßen

SM!LE

10.11.2018, 21:16

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Ja, da würde reichen und ja, Symmetrie wie du geschrieben hast

11.11.2018, 12:50

SM!LE

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Super.
Dann ist mir das jetzt etwas klarer vielen vielen Dank. smile

Mit freundlichen Grüßen

SM!LE

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