Borel-messbar

11.11.2018, 01:18	LinAAnaomg	Auf diesen Beitrag antworten »
Borel-messbar Meine Frage: Hallo, hier habe ich eine Frage zum Thema Borel - Messbar Es sei (?; A) ein messbarer Raum und B die Borel-?-Algebra auf R. Weiter seien X, Y : ? -> R (A-B-messbare Abbildungen). Zeigen Sie: a) X.Y ist A-B messbar b) X+Y ist A-B messbar c) Beweis, dass a) und b) im Allgemeinen nicht gilt, falls R mit einer beliebigen ?-Algebra A' (nicht notwendigerweise die Borel-?-Algebra) ausgestattet wird Meine Ideen: a) und b) sind ganz einfach zu beweisen, nur c) habe ich leider keine Ahnung, wie ich dann beweisen soll. Auf leicht verständliche Anwort wäre ich sehr freunen. Vielen Dank!
16.11.2018, 15:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein wenig überlegen, worauf kommt es an bei einem solchen Nichtmessbarkeitsbeispiel: Die Ausgangs-Sigma-Algebra muss sehr dünn sein - idealerweise ist es nur die triviale Sigma-Algebra. Damit $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ dann aber trotzdem noch messbar sind, wählt man auch die Ziel-Sigma-Algebra sehr grob strukturiert, aber dennoch fein genug, dass Mengen darin enthalten sind, die beim Urbild von Summe/Produkt Ärger machen... Kurzum: Wir wählen $\begin{eqnarray} \Omega=\{0,2\} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \mathcal{A}=\{\emptyset,\Omega\} \end{eqnarray}$ , die identischen Abbildungen $\begin{eqnarray} X(\omega)=Y(\omega)=\omega \end{eqnarray}$ und für Bildbereich $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die Sigmaalgebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A}'=\left\{\emptyset, \{4\}, \mathbb{R}\setminus\{4\}, \mathbb{R}\right\} \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ messbar (als Urbilder kommen je zweimal $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ vor), aber $\begin{eqnarray} Z=X+Y=X\cdot Y \end{eqnarray}$ , einfacher geschrieben $\begin{eqnarray} Z=2X \end{eqnarray}$ , ist nicht messbar, denn es gilt $\begin{eqnarray} Z^{-1}\left( \{4\} \right) = \{2\}\not\in\mathcal{A} \end{eqnarray}$ .

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