Neutrales Element einer abelschen Gruppe finden

11.11.2018, 17:29	Orzo	Auf diesen Beitrag antworten »
Neutrales Element einer abelschen Gruppe finden Meine Frage: Die Menge G ist definiert als G := R-{-1}. Zwei Elemente aus G sollen nun durch einen binären Operator (ich nehm hier mal #) verknuepft werden. Der Operator ist wie folgt definiert : a#b := ab + a + b Nun muss ich zeigen, dass das eine abelsche Gruppe ist. Ich bitte hier nur um einen Ansatz bzw die Korrektur meines Denkfehlers und nicht um eine Loesung. Bitte keine Loesung posten. Meine Ideen: Um zu zeigen, dass es sich um eine abelsche Gruppe handelt, muss ich, so weit ich weis, als erstes ein neutrales Element finden. Und da beginnen auch schon meine Probleme. Ich finde ueberall nur Beispiele fuer reine Addition oder Multiplikation. Dabei ist dann das neutrale Element entweder 0 (Addition) oder 1 (Multiplikation). Nun beinhaltet der Operator in seiner Definition eine Multiplikation und eine Addition. Dadurch waere entweder die 1 bei dem multiplikativen Teil neutral oder eben die 0 bei der Addition. Aber irgendwie muss das ganze in einen Operanten rein... Ich glaub irgendwie habe ich die Aufgabenstellung falsch verstanden, weil das kann ja nicht funktionieren.
11.11.2018, 17:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neutrales Element einer abelschen Gruppe finden Du sollst nicht irgendwo Beispiele suchen sondern selber denken Gefragt ist ein $\begin{eqnarray} e\in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=a\#e=ae+a+e \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} a\in G \end{eqnarray}$ . Aus dieser Gleichung kann man e leicht bestimmen. Die Bedingung $\begin{eqnarray} a=e\#a \end{eqnarray}$ zeigt man dann auch einfach oder beruft sich auf die - noch zu zeigende - Kommutativität
11.11.2018, 18:08	Orzo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neutrales Element einer abelschen Gruppe finden Uff danke, wie blind kann man sein... xd Sorry an alle die hier mit so einer Frage belaestigt wurden
11.11.2018, 18:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neutrales Element einer abelschen Gruppe finden Ja, manchmal kann ein Brett vor dem Kopf den Durchblick behindern
11.11.2018, 19:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} a \star b = ab + a + b = (a+1)(b+1)-1 \end{align}$ könnte hilfreich sein, zum Beispiel bei der Assoziativität oder der Inversenbildung.
12.11.2018, 10:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch gleich so formalisieren: Zwischen $\begin{eqnarray} G=\mathbb{R}\setminus\{-1\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H=\mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ betrachte man die Bijektion $\begin{eqnarray} T:\;G\to H,\;t\mapsto t+1 \end{eqnarray}$ . Dann bewirkt die hier geltende Eigenschaft $\begin{eqnarray} T(a\#b)=T(a)\cdot T(b) \end{eqnarray}$ mit der gewöhnlichen reellen Multiplikation $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray} (G,\#) \end{eqnarray}$ und Gruppe (!) $\begin{eqnarray} (H,\cdot) \end{eqnarray}$ ist.
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