Flächenintegral unter Kurve mit Satz von Green bestimmen

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Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenintegral unter Kurve mit Satz von Green bestimmen
Meine Frage:
Hallo,
hier ist die Aufgabe:
[attach]48315[/attach]

zu a habe ich soweit:

müsste eigentlich richtig sein...

zu b habe die folgende Formel:

ich denke das ist soweit richtig und ich muss nun A bestimmen: aber wie?
[attach]48316[/attach]

was ist hier beim Kurvenintegral mein F(x), da muss ich ja C_1 einsetzen...

mfg

Meine Ideen:
oben...
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die gesuchte 2.Koordinate des Schwerpunktes einer Fläche mit dem Flächeninhalt A=1 lautet allgemein



Zur Berechnung von soll man den Satz von Green benutzen, welcher für ein beliebiges 2-dimensionales Vektorfeld lautet



Dabei steht auf der rechtes Seite ein Kurvenintegral über die Randkurve der Fläche A.

Nun verwendet man folgenden "Trick":
Man wählt im Satz von Green speziell und . Dann spezialisiert sich der Satz von Green wegen und zu



Auf der linken Seite steht also die gesuchte 2.Schwerpunktkoordinate (Siehe Formel oben). Auf der rechten Seite steht ein Kurvenintegral über die Randkurve der gegebenen Fläche. Du musst also nur noch dieses Kurvenintegral berechnen. Beachte: Die Randkurve besteht in diesem Falle aus zwei Teilkurven.
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

welches x_2 meinst du am ende? von c_1 wahrscheinlich oder?

und 2. ich bekomme auf dem normalen weg für y_s (also mit der formel für schwerpunkt unter kurve), 3/4 raus. ist das richtig?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%...s(t),+0+to+2PI)

"Die Randkurve besteht in diesem Falle aus zwei Teilkurven." ja das weiß ich... teil zwei ist aber 0. da x_2 von c_2 = 0 ist... richtig?



aber da kommt -3/2*pi... ich glaube hab was falsch gemacht...
https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1...%5E2,+0+to+2PI)

EDIT: ja aber die Fäche D ist nicht 1. also muss man noch durch A teilen... wie ich oben schrieb: (habs nun verbessert)... die frage war wie ich dieses A bestimmen?
Zitat:

mfg
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

...
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Variablen , bezeichnen die beiden Komponenten deiner Kurve, also



Beim Integrieren ist also foldendes Differenzial zu verwenden

Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

habe gerade etwas zeitdruck...

also deshalb die frage... ist y_s = 3/4 oder 5/6?

und ist mein A = = 2 PI?
EDIT:
bzw. muss ich hier auch dx= -1+cos(t) dt nutzen und so kommt A =3PI?

mfg

EDIT:



So?
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Gib mal bei GOOGLE den Suchbegriff "Satz von Green" ein. Dort steht als Anwendungsbeispiel dieses Satzes, wie man den Flächenschwerpunkt berechnet. Ich kann die Sache jetzt aus Zeitgründen nicht explizit ausrechnen.
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

ok hats sich geklärt. lösung ist 5/6, A ist 3pi (kann man ganz normal ausrechnen)... mein fehler war, dass ich dx nicht richtig eingebaut hatte...
mfg
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