Spezieller Punkt im Dreieck

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Blume22 Auf diesen Beitrag antworten »
Spezieller Punkt im Dreieck
Meine Frage:
Auf der Grundlinie AB wird ein Punkt P gewählt, der näher bei B liegt als bei A. Durch P wird eine senkrechte Gerade gelegt und auf ihr wird ein Punkt C gewählt, der jedoch nicht gleich P ist. Nun ist das Dreieck ABC konstruiert, wobei C auf der senkrechten Gerade verschiebbar ist. Der Winkel Alpha wird im Punkt B von
der Seite BC in Richtung A abgetragen und der Schnittpunkt des Winkelscheitels mit der Seite b wird als Punkt S definiert. Wiederrum legen wir durch S eine sekrechte Gerade auf die Seite b und erhalten durch den Schnittpunkt dieser Gerade mit der Seite c den Punkt F.

Zu zeigen ist, das die Lage von F unabhängig davon ist, wie man C wählt.

Meine Ideen:
Bisherige Erkenntnisse:
Wählt man C unterschiedlich, so wandert der Punkt S auf einem Kreis mit Mittelpunkt (F/2,0).
Beschriftet man den Schnittpunkt der beiden senkrechten Geraden mit K, so bilden KBCS ein Sehenviereck, dass in einen Kreis eingeschrieben werden kann. Innerhalb dieses Sehnenvierecks können (mit Hilfe des Peripheriewinkelsatzes)alle Winkel bestimmt werden.

Leider weiß ich jedoch nicht, wie die obige Aussage beweisen kann. Ich würde mich über Anregungen sehr freuen!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spezieller Punkt im Dreieck
analytisch findet man schnell :


mit c = |AB|

nun zeige, dass der Bruch einen konstanten Wert hat, was auch schnell geht Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht genau, auf welchem Weg Werner auf diese Gleichung kommt (EDIT: Ok, kann es mir jetzt denken: Im wesentlichen Sinussatz im Dreieck ABS, und dann Additionstheorem), aber ich kann auf einem Alternativweg durch Betrachtung der ähnlichen Dreiecke sowie das Resultat bestätigen, die rechte Seite ist offenkundig unabhängig von der Lage von auf der Senkrechte durch .

Dieser zweite Weg scheint etwas länger zu sein, dafür ist er "winkelfunktionsfrei" und somit auch für etwa jüngere Semester geeignet. Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Anbei die etwas angepasste Skizze.

[attach]48324[/attach]

Die Rechnung führt noch auf einen weiteren interessanten Aspekt:
Wenn der Punkt P die Seite c im Teilverhältnis m : n teilt, tut dies der Punkt F im Verhältnis (m - n) : n

mY+
Blume22 Auf diesen Beitrag antworten »

Echt cool, danke schon mal für gleich zwei Lösungsansätze und das interessante Detail!

Ich bin gerade dabei nachzuvollziehen wie HAL 9000 auf die aufgestellt Gleichung gekommen ist bzw. diese herzuleiten. Wurden nur die Verhältnisse der ähnlichen Dreiecke genutzt oder auch noch etwas anderes?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zusätzlich habe ich noch Pythagoras genutzt:

Aus und folgt , das wird in der Argumentation benötigt.
 
 
Blume22 Auf diesen Beitrag antworten »

so hätte ich es bereits versucht.



und mit dem Kathetensatz:



Dann hätte ich bereits verschiedenes probiert z.B.:




Aber ich schaffe es nicht die linke Gleichung in AF zu verwandeln.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Damit kommst du in eine Sackgasse, denn das Dreieck ABC ist NICHT rechtwinkelig!
Somit gilt dort der Kathetensatz nicht.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ähnlichkeit der bereits angegebenen Dreiecke erzeugt folgende zwei Proportionen bzw. Gleichungen:



---------------------------------------


------------------------------
Addition der letzten beiden Gleichungen:



Berechne daraus |AF| .... (und verwende dabei die bereits eingangs erarbeitete Gleichung )

Letztendlich ist und mit folgt

Offen gesagt, erscheint mir dieser Weg relativ lang und komplex.
Analytisch (mit Winkelfunktionen) ist das Ganze in ungefähr 6 Zeilen recht schnell erledigt.
Bei Interesse kann ich oder riwe das noch nachreichen, @riwe, wir haben sicher den gleichen Weg, @HAL, du hast diesen auch schon skizziert.

mY+
Blume22 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt verwirrt Vor lauter nachdenken habe ich gar nicht mehr daran gedacht, dass es rechtwinkelig sein muss.

Auf den Trick mit dem Addieren wäre ich wohl selbst nicht gekommen. Vielen Dank, jetzt ist mir alles total klar! Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern

Du meintest wohl: "... dass es NICHT rechtwinkelig sein muss"

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich halte die Komplexität beider Wege in etwa für vergleichbar:

Im Additionstheorem stecken implizit die Mehrschritte verborgen, die der andere Weg benötigt.
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