Dichte der Schnittpunkte von Kreisen

Neue Frage »

Luap1910 Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte der Schnittpunkte von Kreisen
Meine Frage:
Hallo,
ich versuche gerade folgenden Sachverhalt zu verstehen.

Ausgangsituation: Ich habe einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius . Nun wird dieser Kreis von einem weiteren Kreis, mit Mittelpunkt und ebenfalls Radius geschnitten. Es bilden sich zwei Schnittpunkte.

Nun hänge ich an folgender Aussage:
Zitat:
the density of intersections is



Meine Ideen:
Ich habe mir das bereits anschaulich klar gemacht. ist die Fläche um den Mittelpunkt , in der der Punkt liegen muss, damit Schnittpunkte erzeugt werden. Da jeder Punkt mit Abstand von keinen Schnittpunkt erzeugt. Also:

ich bin mir sehr sicher, dass mit "density" hier die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gemeint ist. Denn nachfolgend ist in der Literatur angegeben:
Zitat:
the expected number of intersection in the square of area is

Das ist das Lebesguemaß des Teilraum

Dabei stellen sich nun 2 Fragen:


(i) Wie ist hier die Dichte zu verstehen? Wenn wirklich eine Wahrscheinlicheitsdichte darstellt müsste sie integriert bezüglich des Lebesguemaß ergeben.

(ii) Wie komme ich formal richtig auf den EW? Es gilt:
wenn ich das nun richtig interpretiert habe, müsste sein und ich könnte es aus dem Integral ziehen. Dann ist Ist dann der letztere Term gleich 1?


Vielen Dank für eure Hilfe
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du schneidest zwei kurze Sätze aus einem offenkundig viel größeren Kontext aus, und wir sollen das jetzt interpretieren? Da fehlen mir zu viele Informationen (offenkundig gibt es ja auch noch irgendeinen Zufallsprozess, womöglich hinsichtlich der Wahl von Q, über den du kein Wort verloren hast. Ebenfalls Null Informationen, was denn überhaupt für eine Zufallsgröße sein soll). unglücklich
Laup1910 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, da ich mich schon länger damit beschäftigt habe, habe ich wohl verdrängt, dass das andere nicht gemacht haben. Ich versuche mal mehr relevante Informationen zu geben:

Zitat:
Original von HAL 9000
offenkundig gibt es ja auch noch irgendeinen Zufallsprozess


Genau, die Punkte sind zufällig aus einem PoissonPunktProzess. Um diese Punkte bilden sich Kreise mit Radius . Nun möchte ich den Erwartungswert von den Schnittpunkten in einer Fläche bestimmen. Habe ich den ermittelt, ist es mir möglich über eine Abdeckung der Fläche zu treffen.
Leider ist die Literatur sehr anwendungsorientiert geschrieben, und ich versuche das nun für meine Arbeit zu mathematisieren.

Zitat:
Original von HAL 9000
Ebenfalls Null Informationen, was denn überhaupt für eine Zufallsgröße sein soll. unglücklich

Ich denke, dass ist die Anzahl der erzeugten Schnittpunkte sind. Bin mir aber deswegen unsicher.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du hast einen zweidimensionalen Poisson-Punktprozess (ich nehme an, der Intensität 1, auch wenn du das nicht erwähnt hast) und fragst nach statistischen Eigenschaften des "Schnittpunktprozesses".

Halten wir einen Punkt des Poissonprozesses fest, so erzeugen sämtliche Punkte im Einzugsbereich (Kreis mit Radius 2r) Schnitte, und zwar jeweils zwei Schnittpunkte. Da bei Intensität 1 es im Mittel solche Punkte gibt, gibt es also pro Punkt im Mittel solche Schnittpunkte.

Aber wir dürfen die Schnittpunkte ja nicht doppelt zählen, denn sie gehören ja auch jeweils zu einem , daher ist die wirkliche Intensität dann nur halb so groß, also . Soweit ist das also erstmal klar.

(i) Wie ich geschrieben habe, ist die Intensität des Schnittpunktprozesses. Das ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte im klassischen Sinne.

(ii) Der Erwartungswert der Schnittpunktanzahl in einer bestimmten Fläche ergibt sich als Produkt von Intensität mit Flächeninhalt, hier also .
Laup1910 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, von Schnittpunktprozessen habe ich ehrlich gesagt noch nichts gehört.

Ich werde mal recherchieren, ob ich da was zu finde. Scheint auch nicht soo verbreitet zu sein Augenzwinkern

Danke erstmal für deine Hilfe. (Vielleicht benötige ich sie nochmal Augenzwinkern )
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Laup1910
Ok, von Schnittpunktprozessen habe ich ehrlich gesagt noch nichts gehört.

Herrje, damit meine ich doch nur den Punktprozess, der aus den Schnittpunkten besteht - das sollte doch aus den Darlegungen klar sein. Also kein Grund, sich gleich in den Schützengraben "kenn ich nicht" wegzuducken. unglücklich

Ich musste doch nur irgendeine Benennung finden in Abgrenzung zu deinem originalen Poissonpunktprozess.
 
 
Laup1910 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ich musste doch nur irgendeine Benennung finden in Abgrenzung zu deinem originalen Poissonpunktprozess.

Ahhh. Ne. Das war mir nicht sofort klar. Habe den Begriff dann mal gegooglet und tatsächlich scheinen Andere deine Ausdrucksweise auch ganz passend gefunden zu haben. Sie beschreiben aber eben auch das, was du sagt. Vielen Dank dafür.

Eine kleine Rückfrage habe ich jedoch noch. Die Intensität beschreibt ja die erwartete Anzahl von Punkten in einer Flächeneinheit.

Wenn jetzt die Intensität des (Schnitt-)Punktprozesses beschreibt, erwarte ich ja Schnittpunkte auf einer Flächeneinheit. Verstehe ich das richtig, dass die Flächeneinheit, meinem Einzugbereich (Kreis mit Radius 2r) entspricht?
Was mich daran verwirrt ist, dass meine "originale" Intensität ja nur einen Punkt pro Flächeneinheit (Einzugbereich (Kreis mit Radius 2r)) erwarten lässt. Das stimmt soweit ja auch. Aber wie kann dann die Intensität des (Schnitt-)Punktprozesses höher sein, da ja der gleiche Punktprozess zu Grunde liegt?

Ich hoffe meine Frage ist verständlich ausgedrückt. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Laup1910
Die Intensität beschreibt ja die erwartete Anzahl von Punkten in einer Flächeneinheit.

Wenn jetzt die Intensität des (Schnitt-)Punktprozesses beschreibt, erwarte ich ja Schnittpunkte auf einer Flächeneinheit. Verstehe ich das richtig, dass die Flächeneinheit, meinem Einzugbereich (Kreis mit Radius 2r) entspricht?

Das ist das Ergebnis der Rechnung, ja. Wenn dein Original-Poissonprozess die Intensität hätte (statt fest Intensität=1 wie bei dir bisher),
dann wäre die Intensität des Schnittpunktprozesses aber .

Zitat:
Original von Laup1910
Was mich daran verwirrt ist, dass meine "originale" Intensität ja nur einen Punkt pro Flächeneinheit (Einzugbereich (Kreis mit Radius 2r)) erwarten lässt. Das stimmt soweit ja auch. Aber wie kann dann die Intensität des (Schnitt-)Punktprozesses höher sein, da ja der gleiche Punktprozess zu Grunde liegt?

Weil sich bei großem dann eben sehr viele Kreise schneiden: Wenn du Kreise hast, die sich alle wechselseitig schneiden, dann hast du am Ende Schnittpunkte ...


Ich weiß nicht, wie es mit deinen Programmier-Kenntnissen bzw. -Fähigkeiten aussieht - ich würde das an deiner Stelle einfach mal am Beispiel visualisieren:

D.h., Realisierungen eines solchen Poissonprozesses auf einem geeignet gewählten Gebiet (naheliegenderweise rechteckig) auswürfeln, als Bild darstellen (z.B. Poissonpunkte als +) dann zu wählbaren (vielleicht per Schieberegler live verstellbar) die Schnittpunkte ausrechnen und darstellen (vielleicht als x oder in eine anderen Farbe) und dann mal mit den Parametern "spielen". Dann bekommt man ein Gefühl für die Sache hier.
Luap1910 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL9000,

Zitat:
Original von Laup1910
Ich weiß nicht, wie es mit deinen Programmier-Kenntnissen bzw. -Fähigkeiten aussieht - ich würde das an deiner Stelle einfach mal am Beispiel visualisieren

vielen Dank für den Tip, ich habe mich jetzt mal mit dem Programm R auseinandergesetzt und verstehe nun deutlich besser die Theorie der Punktprozesse. Freude

Jetzt bin ich dabei meine Arbeit formal sauber zu gestalten und mir ist dann aufgefallen, als ich ein Beispiel skizieren wollte, dass folgender Sachverhalt leider doch nicht so klar ist.

Zitat:
Original von HAL 9000 Aber wir dürfen die Schnittpunkte ja nicht doppelt zählen, denn sie gehören ja auch jeweils zu einem , daher ist die wirkliche Intensität dann nur halb so groß, also . Soweit ist das also erstmal klar.

Ich weiß nicht wirklich, wie ich mir das vorstellen soll verwirrt Ich habe mal ein Beispiel:
Hier der Link: ibb.co/6bVk5YJ (Leider konnte ich aufgrund zu weniger Beiträge, nicht als URL verfassen, Sorry)

Ist hier in diesem Beispiel erkennbar, dass dort Punkte sind, die ich doppelt zähle? Ich verstehe nicht genau, was du mit
Zitat:
Original von HAL 9000 denn sie gehören ja auch jeweils zu einem

meinst.

Liebe Grüße
Luap1910 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe du liest das noch, da ich diese Woche meine Abgabe habe traurig

Also, wenn ich mal den Wortlaut von dir verwende um mir das klarzumachen mit expliziten Zahlen...

Sagen wir , dann erwarte ich einen Punkt , der Schnittpunkte erzeugt. Somit erwarte ich Schnittpunkte pro festem . Diese darf ich nun nicht doppelt zählen. Denn die erwartete Intensität ist nur halb so groß und so erwarte ich nur einen Schnittpunkt pro festem . verwirrt

Das ist mir irgendwie nicht klar...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß nicht, was daran nun so schwer verständlich war - Ok, ich kann es nur nochmal versuchen, zu erklären:

Du betrachtestet ja zunächst einen festen Punkt des Punktprozesses, und dann für jeden anderen Punkt des Punktprozesses im Einzugsbereich von (d.h. "nah genug") die beiden Schnittpunkte der Kreise um und - soweit so gut.

Wenn du nun aber alle Schnittpunkte betrachtest, d.h. über alle zusammengenommen, dann musst du ja berücksichtigen, dass im obigen Szenario nicht nur im Einzugsbereich von liegt, sondern dann auch genauso im Einzugsbereich von liegt!!! Damit werden dieselben beiden Schnittpunkte von oben dann auch bei nochmal mitgezählt.

Das gilt nun für alle solche Paare und zugeordneten Schnittpunktpaare, d.h., alle Schnittpunkte werden somit doppelt gezählt. Das gilt es natürlich zu korrigieren.
Luap1910 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nun hat es klick gemacht. Vielen lieben Dank!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »