Bildmenge komplexe Funktion

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Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
Bildmenge komplexe Funktion
Hallo,
es geht um folgende Menge:

Diese soll abgebildet werden mit

Das ist doch eine Möbiustransformation. Also muss bei der Abbildung des Kreises wieder ein Kreis oder eine Gerade als entarteter Kreis rauskommen.
Wie gehe ich vor. Setze ich die Randpunkte meiner Menge ein?
Also z.b (1,0),(-1,0) und (0,i)?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Wenn die von dir genannte Eigenschaft der Möbiustransformation bekannt ist, kannst du so vorgehen. Aus den Bildpunkten von ein paar Randpunkten des zu betrachtenden Gebiets ergibt sich das Bildgebiet.
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Ja das ist bekannt:
Dann würde ich für den Punkt(0,i) wieder (0,i) erhalten.
(-1,0) wäre doch einfach (0,0) und der letzte Punkt (-1,0) ist dann der unendlich ferne Punkt.
Dann würde ich einfach die Imaginäre Achse erhalten für diese Randpunkte. Wäre das korrket?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Ja, der Halbkreis wird auf die positive imaginäre Achse abgebildet. Jetzt muss du nur noch das Bild des Durchmessers dieses Halbkreises ermitteln.
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Das verstehe ich nicht. Wie kann ich das machen.

Die postive imaginäre Achse würde aber nicht zur Bildmenge dazugehören, denn die Einheitskreislinie gehört nicht zur Ausgangsmenge.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Zitat:
Original von Katarina1997
Das verstehe ich nicht. Wie kann ich das machen.

Was verstehst du nicht? Der Durchmesser des Halbkreises besteht aus den rellen Zahlen zwischen -1 und 1. Zwei hast du bei dem Halbkreis schon eingesetzt. Jetzt könnte man noch einsetzen. Dann hast du 3 Bildpunkte des Durchmessers.

Zitat:
Die postive imaginäre Achse würde aber nicht zur Bildmenge dazugehören, denn die Einheitskreislinie gehört nicht zur Ausgangsmenge.

Richtig.
 
 
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Für z=0, erhalte ich den Punkt (1,0).
Erhalte ich also einen Halbkreis im 1. Quadranten?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Nein. wird doch auf den unendlichen fernen Punkt abgebildet. Der liegt nicht nur im Unendlichen der imaginären Achse. Er liegt auch im Unendlichen der reellen Achse. Er liegt ganz generell überall im Unendlichen. Klarer wird das, wenn man die komplexen Zahlen geometrisch auf der Riemanschen Kugel betrachtet. Dort ist der unendliche ferne Punkt dann tatsächlich ein Punkt.
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Aso.

Ich habe also die positive imaginäre Achse ausgeschlossen. Dann habe ich auch einen Punkt auf der postiven reelen Achse. Der unendlich ferne Punkt liegt dann auch in Richtung dieser. D.h diese liegt dann in meiner Bildmenge?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Nein. Die nicht negative reelle Achse ist das Bild des Durchmessers des Halbkreises. Der Durchmesser gehört aber auch nicht zu dem abzubildenden Gebiet. Also gehört auch die nicht negative reelle Achse nicht zu dem Bildgebiet. Sie bildet lediglich einen Teil des Randes des Bildgebiets.
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Stimmt der Punkt z=0 liegt ja nicht in der Ausgangsmenge, da Imz=0 ist. Dann begrenzen also die beiden positiven Achsen mein Gebiet. Dazwischen müssen doch dann die Bildpunkte liegen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Ja, aber was heißt dazwischen? Es gibt 2 Möglichkeiten:

1) Die Bildmenge besteht aus dem Inneren des ersten Quadranten der komplexen Zahlenebene.
2) Die Bildmenge besteht aus dem Inneren des zweiten + dritten + vierten Quadranten der komplexen Zahlenebene.

Was davon zutrifft, ergibt sich, wenn man das Bild eines Punktes ermittelt, der tatsächlich zu dem abzubildenden Gebiet gehört.
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Wenn ich den Punkt (0.5,0.5) betrachte, dann erhalte ich als Bild (1, 0.5). Damit muss es der 1. Quadrant sein.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Ich erhalte da den Punkt (1,2). Der liegt aber auch im ersten Quadranten. Damit ist die Aufgabe gelöst.
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Ok dann muss ich nochmal nachrechen. Man erhält also egtl Kreise (Viertelkreise) im 1. Quadranten, die diesen dann auch ergeben oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Ja, das ist eine surjektive Abbildung auf das Innere des ersten Quadranten. Es ergeben sich aber keineswegs immer Viertelkreise.
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Wie passt das dann mit der kreisteue der Möbiustransformation zusammen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Wieso sollte das nicht zusammenpassen?
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Ja wenn es keine Viertelkreise sind. Wie dann?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Nehmen wir mal die Winkelhalbierende . Das ist ein ausgearteter Kreis. Die wird unter der gegebenen Abbildung auf einen Kreis abgebildet, sogar auf einen nicht ausgearteten Kreis. Aber weshalb in aller Welt sollte das Stück der Winkelhalbierenden, das in dem gegebenen Gebiet liegt, also das Stück mit ausgerechnet auf ein Viertel dieses Bildkreises abgebildet werden. Ich sehe dafür nicht den geringsten Grund. Es wird auch nicht auf einen Viertelkreis abgebildet. Das ist das Bild dieses Stücks:

[attach]48333[/attach]
Katarina1997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildmenge komplexe Funktion
Ach jetzt ist es klar.
Vielen Dank Huggy. smile Freude
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