Gleichungssystem

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Antonnnnnn Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem
Meine Frage:
x^2+y+z=-1
x+y^2+z=-1
x+y+z^2=-1

Meine Ideen:
Also ich hab jz rausgefunden, dass x,y und z alle gleich sind und -1

Wie wäre das, wenn immer 5/4 rauskommen soll? Das versteh ich nicht..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Antonnnnnn
Also ich hab jz rausgefunden, dass x,y und z alle gleich sind und -1

Dass das eine Lösung ist, kann man schnell verifizieren. Aber du solltest schon noch begründen, dass es die einzige Lösung ist.

Anmerkung: Im komplexen stimmt das z.B. nicht, da gibt es 6 weitere Lösungen.

Zitat:
Original von Antonnnnnn
Wie wäre das, wenn immer 5/4 rauskommen soll?

Etwas knapp formuliert: Meinst du damit das Gleichungssystem



? verwirrt
Antonnnnnn Auf diesen Beitrag antworten »
R
Ja

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ja, dann gibt es 5 reelle Lösungen. z.B
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch dann gleich mal eine nette Verallgemeinerung:

Für jede reelle Zahl bestimme man die Anzahl der reellen (und vielleicht auch der komplexen) Lösungstripel des Gleichungssystems

,

und natürlich auch die Lösungstripel selbst. smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Nett sieht aber anders aus










...

die Anzahl der reellen Lösungen hängt anscheinend

1.) von ab
2.) von ab
3.) von ab

nur so als Idee.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein möglicher Lösungsweg: Subtraktion der ersten beiden Gleichungen führt zu



Nach dem Nullproduktsatz muss somit oder gelten. Der Symmetrie wegen muss ebenfalls oder gelten. Insgesamt ist also jede Lösungskomponente entweder gleich einer anderen oder "1-davon". Es sind also

a) entweder alle drei Komponenten einander gleich oder

b) zumindest zwei gleich und die dritte dann "1-davon". Augenzwinkern

Fall a) führt zu und damit den beiden Lösungen

Fall b) exemplarisch für führt hingegen zu und damit . Zyklische Vertauschung ergibt damit insgesamt 6 Lösungen in dem Fall.

Nun gilt es noch zu diskutieren, wann welche dieser Lösungen reell sind bzw. wann Lösungen zusammenfallen, das ist fast der größere Aufwand. Das ganze fasert hübsch auf - zählen wir mal die komplexen Lösungstripel:

1) Für gibt es genau acht, keins davon reell.
2) Für gibt es genau sieben, davon eins reell.
3) Für gibt es genau acht, davon zwei reell.
4) Für sowie gibt es genau fünf, alle reell.
5) Für sowie gibt es genau acht, alle reell.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meine 8 Gleichungen mit 7 Parameterwerten a getestet und fand:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:

--i------a---------- Anzahl  echt komplexer Lösungen -----

  1       -3                      8 von 8
  2       -1                       6 von 8
  3       0.3                      8 von 8
  4         1                       2 von 8
  5        1.1                      8 von 8
  6        1.25                    8 von 8
  7         4                        6 von 8
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst damit also sagen, dass ich falsch liege?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

keineswegs.

Der heutige Test mit 7 verschiedenen a-Werten im NLGS konnte deine Daten bestätigen.
-------------
Irgendwo ist bei der allgemeinen Lösung des NLGS mit Parameter a der Wurm drin. verwirrt
Aber ich lass' es jetzt gut sein.
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