Komplexe Zahlen mit Wurzeln

14.11.2018, 16:02

ComplexNumbers

Komplexe Zahlen mit Wurzeln

Meine Frage:
Hallo ich hänge bei einer Aufgabe zu den komplexen Zahlen.
Meine Aufgabe war: Seien z,w Elemente aus C gegeben durch
z = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} - i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w = 2+ \sqrt{2i} \end{eqnarray*}$ . Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + ib mit a,b Elemente aus R.

$\begin{eqnarray*} z*w(konjugiert) = (\sqrt{2} - i)*(2-\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ weiter vereinfacht...
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{2} - \sqrt{4i} - 2i \end{eqnarray*}$

Und nun komme ich nicht weiter, ich weiß nicht wie man diese "komplexe Wurzel" und das -2i zusammenfasst.

Hoffe es ist recht simple und ich habe einfach nur nen Denkaussetzer smile

Meine Ideen:
Wie gesagt, keine Ideen...

LaTeX repariert. Steffen

14.11.2018, 16:51

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln
Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt {2i} = \sqrt 2 \cdot \sqrt i = \sqrt 2 \cdot (e^{\frac {\pi}2 i})^\frac 12 = \dots \end{eqnarray*}$

Kommst Du jetzt weiter?

Viele Grüße
Steffen

14.11.2018, 16:54

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln
Ist denn sicher, dass bei w das i tatsächlich unter der Wurzel steht? verwirrt

14.11.2018, 16:59

ComplexNumbers

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln
Ja das mit dem e hoch irgendwas hab ich auch schon im Internet gesehen nur das hatten wir so in der Vorlesung bisher noch nicht, deswegen bin ich ja so am verzweifeln hehe

14.11.2018, 17:03

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln
Kommst Du jetzt weiter?

14.11.2018, 17:06

ComplexNumbers

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln
Nein ehrlich gesagt steige ich da nicht so durch mit dem e hoch ....

14.11.2018, 17:38

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln
Dann darf ich Dir zunächst unseren Workshop ans Herz legen.

Einfach ausgedrückt ist die Zahl i in der komplexen Ebene ein Pfeil der Länge Eins und dem Winkel 90°. Das siehst Du, oder? Diese beiden Zahlen brauchen wir, um sie polar auszudrücken, also mit

$\begin{eqnarray*} z=r \cdot e^{i \cdot \varphi} \end{eqnarray*}$

Hab keine Angst vor dem e und dem Exponenten, schreib's einfach hin:

$\begin{eqnarray*} z = i \to r=1, \varphi = \frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to i=1 \cdot e^{i \cdot \frac {\pi}2} \end{eqnarray*}$

Und nun willst Du die Wurzel ziehen, also potenzierst Du mit 0,5. Die 1 bleibt erhalten, und der Exponent wird mit 0,5 multipliziert. Das ergibt einen neuen Pfeil, wieder mit der Länge 1 und dem Winkel 45°. Und das ist eine Quadratwurzel von i. Es gibt noch eine zweite, aber das kriegen wir später. Augenzwinkern

14.11.2018, 17:44

ComplexNumbers

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln
Alles klar, super habs nach ein bisschen angucken dann verstanden! Dankeschön smile

15.11.2018, 09:10

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln
Ich möchte nochmal an diese Frage erinnern:

Zitat:

Original von klarsoweit
Ist denn sicher, dass bei w das i tatsächlich unter der Wurzel steht? verwirrt

Das Problem ist ja nun mal, daß $\begin{eqnarray*} \sqrt i \end{eqnarray*}$ keine eindeutige komplexe Zahl ist.

15.11.2018, 09:24

Huggy

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RE: Komplexe Zahlen mit Wurzeln

Zitat:

Original von klarsoweit
Das Problem ist ja nun mal, daß $\begin{eqnarray*} \sqrt i \end{eqnarray*}$ keine eindeutige komplexe Zahl ist.

Doch, das ist es. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2=w \end{eqnarray*}$ hat im Komplexen 2 Lösungen. Es gibt gibt eine klare Definition, welche dieser beiden Lösungen mit $\begin{eqnarray*} \sqrt w \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird. Jeder Rechner, der mit komplexen Zahlen umgehen kann, kennt diese Definition.

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