Verteilung bei einem Glücksrad mit anschließendem Münzwurf

14.11.2018, 20:03

EMPRockhand

Verteilung bei einem Glücksrad mit anschließendem Münzwurf

Meine Frage:
Hallo liebe Leute,

Wir hatten vor kurzem ein Übungsblatt mit folgender Aufgabe.
Ich habe im Nachhinein noch länger daran geknobelt aber bin zu keinem richtigen Ergebnis für die Teilaufgabe b) gekommen. Könnt ihr mir da evtl. etwas auf die Sprünge helfen? Keine Sorge das Übungsblatt ist schon lange abgegeben!

Meine Ideen:
Ich habe versucht eine Art bedingte Wahrscheinlichkeit aufzustellen indem ich in Abhängigkeit des gedrehten Sektors versucht habe, die Wahrscheinlichkeit für ,, Zahl?? auszudrücken. Dabei habe ich mich aber glaube ich irgendwo zwischen Zähldichte und Erwartungswert verrannt und bin deshalb nicht mal ansatzweise zur Verteilungsfunktion gekommen.

14.11.2018, 21:07

Dopap

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am Beispiel von k=3 hätte ich es so versucht:

$\begin{eqnarray*} p(Z=3) = p(S_3)\cdotp \left( \frac 37\right)^3+ p(S_4)\cdotp \binom 43 \left(\frac 37\right)^3 \left(\frac 47\right) + p(S_5)\cdotp \binom 53 \left(\frac 37\right)^3 \left(\frac 47\right)^2 \end{eqnarray*}$

und der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(Z)=\sum_{k=1}^5 k\cdotp p(Z=k) \end{eqnarray*}$

16.11.2018, 09:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von EMPRockhand
Ich habe versucht eine Art bedingte Wahrscheinlichkeit aufzustellen indem ich in Abhängigkeit des gedrehten Sektors versucht habe, die Wahrscheinlichkeit für ,, Zahl?? auszudrücken.

Das ist die richtige Idee. D.h., man definiert erst mal die beiden Zufallsvariablen

$\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ... gedrehter Sektor
$\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ... Anzahl Münzen mit Zahl

Erster Schritt ist die Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Die ergibt sich per geometrischer Wahrscheinlichkeit der Sektorwinkel bezogen auf den Vollwinkel $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , d.h.,

$\begin{eqnarray*} P(S=1) = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi} = \frac{1}{4},\ldots, P(S=5) = \frac{\frac{\pi}{8}}{2\pi} = \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$ ,

ich denke mal, soweit warst du auf jeden Fall auch.

Im nächsten Schritt sehen wir an der Experimentbeschreibung, dass die bedingte Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} S=k \end{eqnarray*}$ die Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B\left(k,\frac{3}{7}\right) \end{eqnarray*}$ ist, in Formeln

$\begin{eqnarray*} P(Z=j \mid S=k) = \binom{k}{j} \left(\frac{3}{7}\right)^j \left(\frac{4}{7}\right)^{k-j} = \binom{k}{j} \frac{3^j4^{k-j}}{7^k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq j\leq k,1\leq k\leq 5 \end{eqnarray*}$ .

Multipliziert mit $\begin{eqnarray*} P(S=k) \end{eqnarray*}$ ergibt sich daraus die gemeinsame Verteilung der beiden diskreten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} S,Z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(Z=j, S=k) = P(S=k)\cdot \binom{k}{j} \frac{3^j4^{k-j}}{7^k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq j\leq k,1\leq k\leq 5\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

am besten legst du eine Tabelle 6x5 an (6 Zeilen für die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -Werte, 5 Spalten für die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Werte) und trägst alle Werte gemäß (*) ein - ca. die "Hälfte" mit $\begin{eqnarray*} j>k \end{eqnarray*}$ ist ja schon mal leer, d.h. mit Wert 0 befüllbar.

In b) ist nun die Randdichte bzgl. $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ gesucht. Dazu ist (*) über in Frage kommenden Werte von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu summieren (= Zeilensumme in der Tabelle):

$\begin{eqnarray*} P(Z=j) = \sum_{k=j}^5 P(S=j, X=k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq j\leq 5 \end{eqnarray*}$ .

Abschließender Schritt wäre dann, von den so ermittelten Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(Z=j) \end{eqnarray*}$ zur gesamten Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Z(t) = P(Z\leq t) \end{eqnarray*}$ zu kommen - bei dem Teil gibt es doch keine Probleme, oder?

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