Gruppenhomomorphismen für Matrizen und Vektoren

14.11.2018, 20:58

Deffie94

Gruppenhomomorphismen für Matrizen und Vektoren

Meine Frage:
Nabend zusammen,

habe nochmal eine Frage zu einer Aufgabe welche ich unten beigefügt habe.

Teil a) ist klar, dort habe ich einfach die Axiome nachgewiesen und gut ist.

zu Teil b) hier bin ich mir nicht ganz sicher ob ich die Quotientengruppe $\begin{eqnarray*} A = \mathbb Z^{n} / Im L_{A} \end{eqnarray*}$ richtig verstehe, denn ich würde behaupten das $\begin{eqnarray*} A = \mathbb Z^{n} / Im L_{A} = \mathbb Z^{n} / \mathbb Z^{n} = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ gilt. Da das Bild ja definiert ist als $\begin{eqnarray*} Im L_{A} = \left\{ y\in \mathbb Z^{n} | \exists x\in \mathbb Z^{n} mit L_{A}(x)=Ax=y \right\} \subseteq \mathbb Z^{n} \end{eqnarray*}$ . Da nun A laut Voraussetzung invertierbar ist, existiert also ein inverses von A sodass es auch zu jedem y ein $\begin{eqnarray*} x=A^{-1} y \in \mathbb Z^{n} \end{eqnarray*}$ gibt. Damit ist das Bild doch ganz Z^(n) oder nicht? Damit wäre die Behauptung ja schon gezeigt, kommt mir aber irgendwie zu einfach vor und damit wäre ja auch schon die Endlichkeit der Gruppe in c) gezeigt!?

Meine Ideen:
Gleichwohl habe ich auch den Hinweis versucht zu benutzen:

Also es gibt so eine Matrix B und die sieht so aus: $\begin{eqnarray*} B=A^{-1} \cdot det(A) \end{eqnarray*}$ damit gilt dann $\begin{eqnarray*} A\cdot B= E_{n} \cdot det(A) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun an diese Gleichung auf beiden Seiten von rechts mit x multipliziere ergibt dies: $\begin{eqnarray*} A\cdot B\cdot x= E_{n} \cdot det(A) \cdot x \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} A\cdot y= det(A) \cdot x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B\cdot x = y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb Z^{n} \end{eqnarray*}$ .

Leider verstehe ich nicht warum jetzt hieraus folgen soll, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in A = \mathbb Z^{n} / Im L_{A} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} det(A) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ .
Würde mich hier sehr über Tipps/Hinweise/Meinungen eurerseits freuen!

Gruß
Deffie

14.11.2018, 23:45

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RE: Gruppenhomomorphismen für Matrizen und Vektoren
Für $\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix}4& 0\\0 &1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \det(M)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} M\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4a\\b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die induzierte Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2\to \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv.
Du hast es nicht mit Vektorräumen zu tun.

Wenn du $\begin{eqnarray*} det(A)x=Ay \end{eqnarray*}$ gezeigt hast, bedenke dass es sich um eine Quotientengruppe handelt. Vorher ist noch zu begründen, warum B nur ganzzahlige Einträge hat.

16.11.2018, 12:38

Deffie94

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B muss ganzzahlig sein, weil ich die Inverse von A wie folgt darstellen kann: $\begin{eqnarray*} A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot A^{*t} \end{eqnarray*}$ und somit gilt auch $\begin{eqnarray*} A^{-1} det(A) = A^{*t} = B \end{eqnarray*}$ und die Adjunkte Matrix von A ist ja nicht anderes als die Transponierte Kofaktormatrix und wenn die Einträge in A Ganzzahlig sind, sind sie es in der adjungierten auch und diese ist ja gerade B.

Ich glaube ich habe das Konstrukt einer Quotientengruppe noch nicht richtig verstanden, ich denke dabei immer an Z/nZ welche dann genau die Nebenklassen von nZ beinhaltet. Damit habe ich nun versucht die Faktorgruppe A in der Aufgabe zu verstehen und ich denke hierbei das im Bild vom gegebenen Gruppenhom. doch alle Elemente aus Z^{n} ernthalten sind / erreicht werden können, somit wäre die einzig übrig gebliebene Nebenklasse [0] womit ja dann auch die Behauptung gelten würde oder nicht?

Deine erste Bemerkung bzgl. der nicht surjektiven Abbildung habe ich leider auch nicht verstanden, könntest du möglicherweise etwas genauer sagen worauf du damit hinaus willst ?

16.11.2018, 12:56

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Die Begründung für die ganzzahligen Einträge von B passt.

Die Faktorgruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^n/Im L_A \end{eqnarray*}$ enthält genau die Nebenklassen von $\begin{eqnarray*} Im L_A \end{eqnarray*}$ . Das ist schon ganz analog zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Deffie94
Damit habe ich nun versucht die Faktorgruppe A in der Aufgabe zu verstehen und ich denke hierbei das im Bild vom gegebenen Gruppenhom. doch alle Elemente aus Z^{n} ernthalten sind / erreicht werden können

Eben nicht, weil zwar $\begin{eqnarray*} \det(A)\neq 0 \end{eqnarray*}$ aber dennoch $\begin{eqnarray*} L_A \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv ist. Und genau das illustriert mein Beispiel.

16.11.2018, 18:44

Deffie94

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Also noch einmal zusammengefasst (erstmal zu deinem Beispiel):

Wenn ich Elemente $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachte, dann sind die Nebenklassen bzgl $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ in der Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4a+x \\ b+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$

also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4a+1 \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4a+1 \\ b+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig verstehe sind im ersten Eintrag des Vektors nur vielfache von vier und ich könnte sogesehen mod4 rechnen und dann im zweiten analog mod1.

Daraus würde ich dann schließen, dass in meiner Faktorgruppe gerade der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mein "Nullelement" ist.

Das würde sich ja laut Definitionen mit allgemeinen Faktorgruppen auch funktionieren, also könnte ich den Beweis jetzt aufschreiben. Könntest du da nochmal drüber schauen?

16.11.2018, 19:05

Deffie94

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Ok muss mich direkt nochmal korrigieren:

die Elemente der Faktorgruppe sind doch soweit ich das richtig verstehe gerade die Restklassen:
In diesem Fall im ersten Eintrag {0,1,2,3} (also mod4) und zweiten {0} (also mod1) und nicht in der Form 4a+x...

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