Operatornorm

15.11.2018, 12:10	guest1834	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm Sorry, ich habe diese Frage bereits in einem englischsprachigen Forum gestellt und bin zu faul das jetzt alles zu übersetzen und neu zu schreiben, deshalb nur der screenshot: [attach]48340[/attach] Ich würde gerne wissen ob mein a) korrekt ist? Und bei b) weiß ich leider nicht weiter Danke im voraus!
15.11.2018, 15:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operatornorm Im ersten Teil von a) schreibst du: Thererfore $\begin{eqnarray} \\|Ax\\|\leq \\|A\\|_1 \end{eqnarray}$ . Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \\|A\\|\leq\\|A\\|_1 \end{eqnarray}$ . Ist nach deiner Vorarbeit natürlich nur eine Kleinigkeit. Im zweiten Teil genauso. Für b) hilft die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Im übrigen sind auf endlichdimensionalen normierten Vektorräumen alle Normen äquivalent.
15.11.2018, 16:36	guest1834	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du $\begin{eqnarray} \|\sum_{i=1}^{n} a_ix_i\| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \\|A\\| \le \\|A\\|_2 \end{eqnarray}$ . Für die andere Richtung würde ich dann einfach $\begin{eqnarray} x_i=a_i, i=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ nehmen, dann hat man $\begin{eqnarray} \|\sum_{i=1}^{n} a_ix_i\|=\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \ge \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}=\\|A\\|_2 \end{eqnarray}$
15.11.2018, 17:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Den ersten Teil verstehe ich, aber warum sollte die allerletzte Abschätzung gelten? Wenn $\begin{eqnarray} \\|A\\|_2<1 \end{eqnarray}$ dann ist das falsch. Aber du bist nicht weit von der Lösung entfernt
15.11.2018, 18:26	guest1834	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|\sum_{i=1}^{n} a_ix_i\|=\sum_{i=1}^{n} a_i^2 =\\|A\\|_2^2=\\|A\\|_2 \end{eqnarray}$ wobei die letzte Gleichheit gilt weil $\begin{eqnarray} \\|A\\|_2 \end{eqnarray}$ per Voraussetzung =1 ist.
15.11.2018, 18:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher kommt denn diese Voraussetzung?
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15.11.2018, 19:23	guest1834	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Definition von $\begin{eqnarray} \\|A\\| \end{eqnarray}$ kommt ja vor, dass $\begin{eqnarray} \\|x\\|_X=1 \end{eqnarray}$ . Bei uns ist $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und dieser ist mit der Zweinorm versehen, also $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2=1 \end{eqnarray}$ . Wenn man $\begin{eqnarray} x_i=a_i, i=1,\ldots , n \end{eqnarray}$ wählt, so folgt doch $\begin{eqnarray} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}=\\|A\\|_2=1 \end{eqnarray}$
15.11.2018, 19:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Da liegt das Problem. A und damit die $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ sind vorgegeben. Du setzt $\begin{eqnarray} x_i=a_i \end{eqnarray}$ ohne über die Norm von x nachzudenken.

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