Beweis eines Quadrates mit dem Skalarprodukt

15.11.2018, 12:57	jugin2509	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Quadrates mit dem Skalarprodukt Hallo, ich soll mithilfe eines geeigneten Skalarproduktes beweisen, dass das Vierreck ABCD ein Quadrat ist. Leider verstehe ich den Lösungsansatz vom Buch nicht. Dass das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec{AC} \vec{BD}=0 \end{eqnarray}$ sein muss ist klar,aber was soll $\begin{eqnarray} \vec{AB}^2 \end{eqnarray}$ sein? Ist vielleicht einfach die Länge $\begin{eqnarray} \|\vec{AB}\|^2 \end{eqnarray}$ gemeint? Aber dann bräuchten wir ja die Potenz nicht. Ich hätte es jetzt einfach über $\begin{eqnarray} \|\vec{AB}\|=\|\vec{BC}\|=\|\vec{CD}\|=\|\vec{DA}\| \end{eqnarray*}$ gemacht. Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
15.11.2018, 14:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Länge eines Vektors bekommt man, wenn man aus seinem Skalarprodukt mit sich selbst die Wurzel zieht. Es ist $\begin{eqnarray} \vec v^2 = \|\vec v\|^2 \end{eqnarray}$ mY+
15.11.2018, 15:08	jugin2509	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich es also richtig,dass das Buch mit $\begin{eqnarray} \vec{AB}^2=\vec{BC}^2=\vec{CD}^2=\vec{DA}^2 <=>\|\vec{AB}\|^2=\|\vec{BC}\|^2=\|\vec{CD}\|^2=\|\vec{DA}\|^2 \end{eqnarray}$ auch nur sagen will, dass alle 4 Seiten gleich sind? Nur mit der Info, dass ein Vektor mit sich selber skalarmultipliziert die Länge vom Vektor zum Quadrat ist. Grüße Eugen
15.11.2018, 17:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es. mY+
15.11.2018, 18:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Diagonalen müssen auch gleich lang sein, sonst könnte das Viereck eine Raute sein, die kein Quadrat ist. Eine der Gleichungen sorgt dafür, dass die Diagonalen gleich lang sind. Ist dann die erste Gleichung $\begin{eqnarray} \vec{AC}\cdot \vec{BD}=0 \end{eqnarray}$ nicht überflüssig ? Diese erste Gleichung gilt ja für Rauten und Quadrate.
15.11.2018, 19:41	jugin2509	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kanns nicht beweisen,aber grade beim Ausprobieren in Geogebra waren die Diagonalen immer orthogonal wenn die Seiten gleich lang sind.Man braucht dann eig. nur noch die Bedingung für die Gleichheit der Diagonalen und erhält das Quadrat.
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15.11.2018, 19:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das glaube ich auch, deswegen braucht man das erste Skalarprodukt nicht. Man kann also ein Quadrat dadurch charakterisieren, dass die 4 Seiten gleichlang sind und dass die beiden Diagonalen gleichlang sind.

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