Ausgleichrechnung

15.11.2018, 16:15	ffs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgleichrechnung Hallo zusammen, im Studium Vermessungswesen beschäftige ich mich unter anderem mit Ausgleichsrechnung, hat jemand Erfahrung in diesem Themengebiet? Etwas konkreter geht es beispielsweise um eine Aufgabe mit 5 gegebenen Punkten (X,Y,Z Koordinaten), durch die eine Ausgleichende Ebene gelegt werden soll. Habe schon diverse Ebenengleichungen und zugehörige Normalenvektoren (näherungsweise) aufgestellt, aber ich komme irgendwie nicht weiter (z.B. beim Aufstellen der A-Matrix). Erstmal recht allgemein gehalten die Frage, in der Hoffnung, dass mir jemand weiterhelfen kann. Vielen Dank schonmal und Grüße, Beni
15.11.2018, 22:03	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausgleichungsrechnung Die Ebene wir durch $\begin{eqnarray} E:<n,x>=d \end{eqnarray}$ beschrieben. $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist ein Normaleneinheitsvektor der Ebene, $\begin{eqnarray} \|d\| \end{eqnarray}$ der Abstand vom Ursprung und $\begin{eqnarray} <n,x> \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt von n und x. Der Abstand eines Punktes $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|<n,x_i>-d\| \end{eqnarray}$ . Bei gegebenen N Punkten minimiert man typischerweise die Funktion $\begin{eqnarray} f(n,d)=\sum_{i=1}^N(<n,x_i>-d)^2 \end{eqnarray}$ . Das ist eine Funktion von vier reellen Veränderlichen, also wie üblich partielle Ableitungen gleich Null setzen. Das führt üblicherweise auf ein lineares Gleichungssystem für die vier Variablen.
15.11.2018, 22:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufpassen, man darf die Nebenbedingung $\begin{eqnarray} \\|n\\|=1 \end{eqnarray}$ nicht außer Acht lassen: Minimiert man $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ohne Beachtung dieser NB, dann landet man selbstverständlich bei $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ (Nullvektor) und $\begin{eqnarray} d=0 \end{eqnarray}$ , was man natürlich nicht gebrauchen kann. Aber mit einem Langrangeansatz $\begin{eqnarray} L(n,d,\lambda) = f(n,d) + \lambda (\\|n\\|^2-1) \end{eqnarray}$ kann man das reparieren.
16.11.2018, 00:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Minimierung der Summe der Normalabstandsquadrate der einzelnen gegebenen Punkte von der Ebene gelingt besonders gut mit einem CAS, beispielsweise Excel (--> Solver) Dazu wird die Gleichung der Ebene angesetzt zu $\begin{eqnarray} ax + by + cz = 1 \end{eqnarray}$ (Die Konstante kann im Allgemeinen - ausser in Sonderfällen) oBdA* gleich 1 gesetzt werden) Dann ist $\begin{eqnarray} \sum d_n^2 = \sum \frac{(ax_n + by_n + cz_n - 1)^2}{a^2 + b^2 + c^2} \end{eqnarray}$ (Hessesche NF) Mit dem Solver werden im Beispiel die 3 Konstanten a, b, c durch Minimierung der Summe der Abstandsquadrate von 5 gegebenen Punkten berechnet. [attach]48348[/attach] Geeignete Startwerte für a, b, c können zunächst mittels dreier ausgewählter Punkte gefunden werden (damit das Verfahren konvergiert). (*) ohne Beschränkung der Allgemeinheit mY+

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