Komplexe Gleichung lösen |
16.11.2018, 17:49 | v-log.net | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Komplexe Gleichung lösen Ich soll eine komplexe Gleichung lösen, komme jedoch nicht weiter: Zu meiner Aufgabe: |z| * z konjugiert = i * z Wenn ich das nach Definition dann mal alles so eingesetzt und vereinfacht habe dann kommt bei raus am Ende: Wie mach ich nun weiter :O Meine Ideen: Meine Idee war es irgendwie was mit dem (a-ib) und (a+ib) zu machen, nur weiß nicht genau was... |
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16.11.2018, 17:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
geht sicher einfacher, wenn man weiß, dass |
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16.11.2018, 18:01 | v-log.net | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei uns wurde aber |z| in der Vorlesung wie folgt definiert: |
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16.11.2018, 18:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt, habe ich oben korrigiert. Vorschlag 1: linke Seite ausmultiplizieren. Vorschlag 2: Gleichung quadrieren. |
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16.11.2018, 18:19 | v-log.net | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich dann die linke Seite ausmultipliziere komme ich auf: a^4 - 2a^3ib - 2aib^3 - b^4 Die rechte Seite ausmultipliziert, auch wenn du nur von der linken sprichst, ergibt bei mir: i^2*(a^2 + 2aib +b^2) Soweit richtig? Nur dann stehe ich ja wieder vor dem Problem das ich nicht weiter weiß, oder übersehe ich eine noch mögliche Vereinfachung? |
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16.11.2018, 18:37 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich schlage doch (1.) nur vor, die Grundrechenarten auf die beiden Seiten der Gleichung anzuwenden. Rechts steht dann . Links wird einfach die Klammer aufgelöst. |
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16.11.2018, 19:13 | v-log.net | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aso meinst du das, ja dann wird ja aus der Gleichung: Die Gleichung: Richtig? |
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16.11.2018, 19:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du ziehst auf der linken Seite zu viel zusammen, und dann erkennt man nichts mehr. Bei komplexen Zahlen sollte man immer Realteil und Imaginärteil trennen. |
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16.11.2018, 21:11 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mmh.. könnte ich als eine Lösung anbieten |
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16.11.2018, 21:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da es unendlich viele Lösungen gibt, ist eine Lösung etwas zu wenig. |
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16.11.2018, 22:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine interessante Aufgabe! Jedenfalls artet bei mir die Rechnung mit z = a + bi in eine im wahrsten Sinne des Wortes fehleranfällige "komplexe" Rechnerei aus. Daher kann man noch einen anderen - bequemeren - Weg gehen, Möglichkeit Nr. 3 Die Gleichung in die Eulerform übergeführt: Daraus folgt - mittels Koeffizientenvergleich - ... und Ist doch schön. Die Vielfalt der Lösungen ist in der Periodizität des Winkelargumentes begründet. mY+ |
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16.11.2018, 22:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist schon schön, aber nicht vollständig. z=0 hat nicht den Betrag 1, und die Rechnung mit a und b ergibt weitere Lösungen. |
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16.11.2018, 23:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die triviale Lösung z = 0 habe ich bewusst ausgeklammert. Mit Berücksichtigung der Periodizität ist Gibt es noch weitere Lösungen? Anmerkung: Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können dadurch falsche Lösungen entstehen. a = -b ist richtig, a = b ist falsch (Probe mittels Einsetzen in die Anfangsgleichung!) mY+ |
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17.11.2018, 07:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das war wirklich eine sehr interessante Aufgabe, die mich die ganze Nacht beschäftigt hat. Du hast recht, dein Ansatz hat mich auf die richtige Spur gebracht, und ich biete folgenden Lösungsweg an. Für ergibt die Division durch die Gleichung . Die Ausgangsgleichung wird zu (2. Winkelhalbierende) mit deinen beiden Lösungen 1-i und -1+i. Die Lösung z=0 bleibt wegen der Fallunterscheidung erhalten. |
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17.11.2018, 09:01 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Elvis: Normieren nicht vergessen |
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17.11.2018, 10:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier noch eine Variante. Ich würde wie Elvis beginnen, und in zum Betrag übergehen. Der Betrag ist mit dem Multiplizieren verträglich. Wegen und erhält man somit Offenbar ist eine Lösung von . Für alle anderen Lösungen folgt aus der letzten Gleichung: . Nun multipliziert man mit und formt um: Und für diese beiden Zahlen gilt auch . Die Probe zeigt, daß die drei Zahlen und Lösungen von sind. |
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17.11.2018, 11:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ URL Die Richtung habe ich schon, jetzt normieren wir die Lösungen noch zu . Danke, der steckt im Detail. |
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17.11.2018, 11:17 | v-log.net | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke erstmal für euer Hilfe und freut mich das mein Professor euch und mir so eine Aufgabe gegeben hat. Eine letzte Frage hätte ich noch, nämlich wie du auf die Lösung kommst? Als eine Lösung habe ich auch 1-i raus nur auf deine andere Lösung komm ich nicht :C |
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17.11.2018, 11:34 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das macht die Geometrie der Ebene. beschreibt die reelle Achse und die imaginäre Achse. ist die 1. Winkelhalbierende und die 2. Winkelhalbierende. Jede Gerade durch 0 schneidet den Einheitskreis in 2 Punkten. |
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17.11.2018, 12:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich finde nach wie vor den Weg über die e-Potenzen als sehr klar und jenen mit den wenigsten Irrtumsmöglichkeiten. Und man hat (ausser der trivialen) auch gleich alle gültigen Lösungen. mY+ |
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17.11.2018, 13:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die ewige und unlösbare Frage: Was ist der beste, schönste, klarste, einfachste, effektivste, ... Weg? Meine persönliche Antwort: Der, den man allein und ohne Hilfestellung gefundeh hat. Der wird vielleicht keines der genannten Attribute erfüllen. Aber trotzdem ist das meine Nummer 1. |
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17.11.2018, 13:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja und nein. Ich versuche immer, den "kürzesten" Weg zur Lösung zu finden. Oft geht es erst einmal darum, überhaupt eine Lösung zu finden. Wenn ich die dann habe, gehe ich daran, alle Umwege zu tilgen und einen geraden Weg zur Lösung zu beschreiten. Oft kann man an der Struktur des Ergebnisses einen dieser geraden Wege erahnen. Wenn ich zum Beispiel nach längerer Rechnung unter Benutzung von Sinus, Cosinus und Konsorten und mit Hilfe von Geradengleichungen, Kreisgleichungen und vielem mehr herausgefunden habe, daß für den gesuchten Winkel gilt, dann sage ich mir: das muß auch einfacher gehen. Ich gehe dann in die Zeichnung und suche, wo der Winkel auftaucht und ob man dies aufgrund eines elementargeometrischen Satzes begründen kann. Bei komplexeren Aufgaben investiere ich mindestens so viel Zeit in die Optimierung der Lösung wie in das Finden derselben. Fragen mathematischer Ästhetik kann man natürlich nicht allgemeingültig beantworten. Bei Aufgaben in der Gaußschen Zahlenebene ziehe ich trigonometriefreie Lösung solchen mit Trigonometrie vor. Aber das ist meine persönliche Ästhetik. Die würde ich niemandem aufzwingen wollen, schon gar nicht mYthos, weil man das natürlich auch ganz anders sehen kann. |
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17.11.2018, 14:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei jeder interessanten Aufgabe gibt es mindestens 3 Wege, die zum Ziel führen. Je mehr Facetten ein Problem hat, desto mehr Querbeziehungen kann man finden und desto mehr lernt man bei der Problemlösung. Die größten Fortschritte in der Mathematik haben oft ihren Ursprung in der Synopsis ehedem getrennter Theorien (siehe "Modular Forms and Fermat's Last Theorem" G.Cornell, J.H.Silverman, Glenn Stevens - Springer Verlag, 1997). |
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