Vektor in anderer Basis

17.11.2018, 23:28	KostenLOS	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor in anderer Basis Meine Frage: Guten Abend, Wie kann man den Vektor (1,3) aus der Basis (1,0) (0,1) in die Basis (1,1) (1,-1) überführen? Meine Ideen: Muss man die Basis transformieren?
18.11.2018, 01:33	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor in anderer Basis Du hast den Vektor, der bezüglich der Standardbasis die Koordinaten (1,3) hat, und willst wissen, welche Koordinaten dieser bezüglich der Basis (1,1),(1,-1) hat? Löse $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$ Wenn Du das für Vektoren allgemein brauchst, kannst Du auch gleich die Matrix bestimmen, die Koordinaten zur Standardbasis in Koordinaten zur neuen Basis umrechnet: $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$
18.11.2018, 14:23	KostenLOS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor in anderer Basis Danke für deine Antwort! Dann habe ich soweit richtig gerechnet, das ist schon mal gut. Jetzt stellt sich mir die Frage, für die ich etwas ausholen muss. Ich habe die erste Basis und die zweite, wenn ich das in ein Koordinatensystem entrage, könnte man meinen, die zweite Basis ist zur ersten um 45° Gedreht. Warum ist der neue Vektor nicht so lang wie der ursprüngliche. Als alten Vektor in (1,0) (0,1) hatten wir ja (1,3) als neuen Vektor bekomme ich (2,-1) in (1,1) (1,-1)?
18.11.2018, 16:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor in anderer Basis Schau dir die Länge der neuen Basisvektoren an und nicht nur die Richtung.
18.11.2018, 16:58	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor in anderer Basis Keine schlechte Frage. Ich hoffe, folgende Erklärung ist plausibel: Geändert hat sich nicht die absolute Länge des Vektors, sondern die Koordinaten nach dem Basiswechsel. Die Koordinaten verändern wiederum bloß die Projektionslängen desselben Vektors auf die jeweiligen Basisachsen. Wenn $\begin{eqnarray} \vec{e_{1}} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{e_{2}} \end{eqnarray}$ die Standardbasis ist und $\begin{eqnarray} \vec{b_{1}} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{b_{2}} \end{eqnarray}$ die neue Basis, dann läßt sich der Vektor (1,3) schreiben als $\begin{eqnarray} \vec{e_{1} } +3\vec{e_{2} } \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2\vec{b_{1} } -\vec{b_{2} } \end{eqnarray}$ . Wenn Dir eine Formel zur Berechnung der Länge/des Betrages/der Norm eines Vektors vorliegt, kannst Du diese nun auf beide Fälle anwenden.

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