Menge komplexer Zahlen skizzieren

20.11.2018, 14:59

greenbay13

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Menge komplexer Zahlen skizzieren

Meine Frage:
Hallo,

ich habe die Aufgabe die Menge $\begin{eqnarray*} {z \in \mathbb C : | z+1-i | = | z-2i | } \end{eqnarray*}$ graphisch darzustellen.

Ich bin mir leider nicht darüber bewusst, wie ich am besten vorgehe.
Bin für jeden Tipp wie man daran geht dankbar ! smile

smile

Meine Ideen:
Meine Idee ist bis jetzt dass ich die Ausdrücke in den Beträgen umgeschrieben habe zu 1) z-(-1+i) und 2) z-(0+2i).
Das heisst ich habe die Menge der komplexen Zahlen deren Abstand zu den beiden Zahlen (-1+i) und 2i gleich ist, leider weiss ich nicht wie ich jetzt hier weitermachen soll, und das graphisch darstellen kann......

20.11.2018, 15:22

Steffen Bühler

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RE: Menge komplexer Zahlen skizzieren
Setze z=x+iy, verwende links und rechts die Betragsformel und löse nach y auf.

Viele Grüße
Steffen

20.11.2018, 15:37

greenbay13

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RE: Menge komplexer Zahlen skizzieren
Was genau meinst du mit der Betragsformel??

20.11.2018, 15:39

Steffen Bühler

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RE: Menge komplexer Zahlen skizzieren
Na, $\begin{eqnarray*} |z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ .

20.11.2018, 15:46

greenbay13

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RE: Menge komplexer Zahlen skizzieren
Also, wenn ich z durch x*iy ersetze erhalte ich auf der linken Seite den Betrag von (x+1)+ i*(y-1).....richtig oder?
Und dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+1)^{2} + (y-1)^{2}} \end{eqnarray*}$ ?

20.11.2018, 15:47

HAL 9000

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Mittelsenkrechte!
Falls es nur ums Zeichnen geht: $\begin{eqnarray*} |z-z_1| = |z-z_2| \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass Punkt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ genauso weit entfernt ist wie von $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ . Der geometrische Ort dieser Punkte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist die Mittelsenkrechte der Strecke von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ in der Gaußschen Zahlenebene.

Genau sowas liegt hier vor speziell für $\begin{eqnarray*} z_1 = -1+i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2=2i \end{eqnarray*}$ .

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20.11.2018, 15:47

Steffen Bühler

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RE: Menge komplexer Zahlen skizzieren

Zitat:

Original von greenbay13
richtig oder?

Ganz genau, und rechts dasselbe.

20.11.2018, 16:23

greenbay13

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Stimmt, ging beides, egal ob mit dem Betrag ausrechnen oder die Mittelsenkrechte. Danke für eure Hilfe!
Habe jetzt noch die Menge $\begin{eqnarray*} | z-i | \geq 1 und | z-1-i | \leq 2 \end{eqnarray*}$
Funktioniert das da genau so??

20.11.2018, 16:27

Steffen Bühler

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Nein, da geht es um Kreise. Die Menge |z|<1 ist die Einheitskreisscheibe.

Damit kommst Du weiter, oder?

20.11.2018, 16:29

HAL 9000

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Zu beachten ist außerdem, dass das "und" letztlich als Mengenschnittoperator wirkt.

20.11.2018, 16:32

greenbay13

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Ehrlich gesagt tue ich mich noch sehr schwer im Umgang mit den komplexen Zahlen und kann damit jetzt nicht relativ viel anfangen.....
Habe aufjedenfall die Gleichungen wieder mit dem Betrag aufgelöst und habe für 1) $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} - 2*y + 1 \geq 1 \end{eqnarray*}$ und für 2) $\begin{eqnarray*} x^{2} - 2*x + y^{2} -2*y \leq 2 \end{eqnarray*}$
Bringt mir das irgendwas?

20.11.2018, 16:35

Steffen Bühler

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Nicht viel. Du könntest natürlich auch wieder nach y umstellen und würdest die Kreisgleichungen erhalten.

Bei |z+a+ib|<r kannst Du aber (wie beim Verschieben eines Graphen im Koordinatensystem) sofort sagen, dass es sich hier um einen Kreis von Radius r handelt, der um a nach links und b nach unten verschoben ist.

20.11.2018, 16:43

greenbay13

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Ok, dass ist ja bei beiden ungleichungen der Fall.
Bei der erste ist die Menge alle Punkte außerhalb des Kreises mit dem Radius 1 und beim zweiten ist die Menge aller Punkte innerhalb des Kreises mit Radius 2 gemeint oder ?

Aber wie komme ich jetzt auf die genaue Gleichung die mir alle Punkte gibt, die in dieser Menge liegen?

Danke übrigens, dass du dir die Zeit nimmst mir zu helfen smile

smile

20.11.2018, 16:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von greenbay13
Aber wie komme ich jetzt auf die genaue Gleichung die mir alle Punkte gibt, die in dieser Menge liegen?

Ich hatte angenommen, der Fokus in diesem Thread ist ein anderer: Graphische Darstellung / Skizzieren der Lösungsmengen

$\begin{eqnarray*} |z-i|\geq 1 \end{eqnarray*}$ bedeutet: Alle Punkte außerhalb (und auf dem Rand) des Kreise um $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mit dem Radius 1 (rot).

$\begin{eqnarray*} |z-1-i|\leq 2 \end{eqnarray*}$ bedeutet: Alle Punkte innerhalb (und auf dem Rand) des Kreise um $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ mit dem Radius 2 (grün).

"und"-verknüpft muss beides gelten, d.h., alle Punkte innerhalb des grünen Kreises, die nicht innerhalb des roten Kreises liegen. Beide Kreislinien gehören aber zur Menge.

20.11.2018, 16:48

greenbay13

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Ja, du hast natürlich recht, aber mit der Gleichung ist das skizzieren doch einfacher oder?
Ich weiss halt nicht wie ich das ablesen kann aus der Menge selber wie das aussehen soll...... unglücklich

unglücklich

Bin mittlerweile schon ein bisschen am verzweifeln..

20.11.2018, 16:57

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von greenbay13
Bei der erste ist die Menge alle Punkte außerhalb des Kreises mit dem Radius 1 und beim zweiten ist die Menge aller Punkte innerhalb des Kreises mit Radius 2 gemeint oder ?

Du hast noch das Verschieben vergessen.

Zitat:

Original von greenbay13
Aber wie komme ich jetzt auf die genaue Gleichung die mir alle Punkte gibt, die in dieser Menge liegen?

Für |z+a+ib|<r wäre das die übliche Kreisgleichung $\begin{eqnarray*} r^2=(x+a)^2 + (y+b)^2 \end{eqnarray*}$

20.11.2018, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von greenbay13
Ja, du hast natürlich recht, aber mit der Gleichung ist das skizzieren doch einfacher oder?

Die Mengengleichung ist einfach $\begin{eqnarray*} M = \left\{ z\in\mathbb{C} \mid |z-i|\geq 1\,\wedge\,|z-1-i|\leq 2\right\} \end{eqnarray*}$ .

Natürlich kannst du das in Real- und Imaginärteil aufsplitten: $\begin{eqnarray*} M = \left\{ x+iy \mid x,y\in\mathbb{R}:\;x^2+(y-1)^2\geq 1\,\wedge\,(x-1)^2+(y-1)^2\leq 4\right\} \end{eqnarray*}$ ,

aber ist es dadurch jetzt einfacher verständlich? M.E. nicht.

20.11.2018, 17:03

greenbay13

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OK HAL 9000, dein beigefügtes Bild der beiden Kreise im Koordinatensystem hat den Schalter endlich umgelegt.
Danke an euch beide für die Hilfe.
Ich denke bei mir brauch es noch ein bisschen, bis ich mich an den Umgang mit den komplexen Zahlen gewöhnt habe ..!

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