Vertauschen von Limes und Integration

20.11.2018, 16:19

MarcelWi

Vertauschen von Limes und Integration

Hallo,
es ist ja so, dass man bei einer Funktionsfolge, die gleichmäßig gegen eine Zielfunktion konvergieren soll Integration und Limes vertauschen darf.
Wenn man jetzt einen stetigen Integranden auf einer kompakten Menge erklärt hat, dann ist dieser gleichmäßig stetig. Dann darf man Limes und Integral auch vertauschen. Wie passt das zur gleichmäßigen Konvergenz der Funktionsfolgen oder hat das nichts damit zu tun?

20.11.2018, 16:43

HAL 9000

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Gleichmäßig stetige Einzelfunktionen sind nicht dasselbe wie eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge.

Beispiel: Auf [0,1] betrachte man die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) = n(n+1)(1-x)x^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Einzeln betrachtet sind alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ stetig, ja auch gleichmäßig stetig, und sie konvergieren punktweise gegen die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ . Aber diese Konvergenz ist nicht gleichmäßig, wie man an der Betrachtung der Funktionsmaxima sehen kann.

Und tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 f_n(x) ~ \dd x=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , in Kontrast zu $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 f(x) ~ \dd x = \int\limits_0^1 0 ~ \dd x = 0 \end{eqnarray*}$ .

20.11.2018, 17:44

MarcelWi

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Aber warum ist des dann Möglich bei gleichmäßig stetigem F limes und Integral zu vertauschen oder Integral und Reihe oder Integral und Ableitung?

20.11.2018, 18:08

HAL 9000

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Ich weiß nicht, wovon du redest - bitte konkretes Beispiel. Vielleicht redest du von einem ganz anderen Grenzübergang, als den ich mir gerade vorstelle.

20.11.2018, 18:47

MarcelWi

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Z.b in diesem Thread aus dem Forum:
ich habe ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ .Sei $\begin{eqnarray*} z_0 \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f : G \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ stetig. Beweisen Sie: Wenn nun f in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex
differenzierbar, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{ \pi r^2} \int_{\gamma} f(z) dz=0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ die Parametrisierung des Kreises $\begin{eqnarray*} \{ z \in \mathbb C: |z-z_0|=r \} \subset G \end{eqnarray*}$

Im Verlaufe des Beweises muss man limes und Integration vertauschen. Dabei wird wie folgt argumentiert;

Der stetige Integrand ist auf einer kompakten Menge(Kreislinie) gleichmäßig stetig, damit kann man den Tausch durchführen?

20.11.2018, 23:01

HAL 9000

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Jetzt vergleichst du Äpfel mit Birnen:

In diesem Beispiel geht es nicht um Funktionenfolgen, sondern eine (komplexe) Funktion, und der Grenzprozess bezieht sich auf die Größe des geschlossenen Integralwegs - durch und durch am Thema vorbei. unglücklich

21.11.2018, 09:34

MarcelWi

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Ok, d.h man kann diese beiden vom mir formulierten Sätzen nicht in einem Zusammenhang bringen.

Aber in diesem Beispiel stimmt der Satz dann :
Wenn man jetzt einen stetigen Integranden auf einer kompakten Menge erklärt hat, dann ist dieser gleichmäßig stetig. Dann darf man Limes und Integral auch vertauschen oder?

21.11.2018, 10:00

HAL 9000

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Und wieder die Frage: Welcher Limes denn? Wenn ich mal auf den Ausgangspunkt des Threads zurückgehe, da geht es um Funktionenfolgen, nicht nur um eine Einzelfunktion. Sämtliche Voraussetzungen, die nur irgendwelche Stetigkeitseigenschaften der Einzelfunktionen betreffen, sind unzureichend für die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integration, das hat mein Beispiel oben doch demonstriert. Hast du das überhaupt angeschaut? Ich hab da langsam meine Zweifel.

21.11.2018, 10:07

MarcelWi

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Zitat:

Original von MarcelWi
Z.b in diesem Thread aus dem Forum:
ich habe ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ .Sei $\begin{eqnarray*} z_0 \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f : G \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ stetig. Beweisen Sie: Wenn nun f in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex
differenzierbar, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{ \pi r^2} \int_{\gamma} f(z) dz=0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ die Parametrisierung des Kreises $\begin{eqnarray*} \{ z \in \mathbb C: |z-z_0|=r \} \subset G \end{eqnarray*}$

Im Verlaufe des Beweises muss man limes und Integration vertauschen. Dabei wird wie folgt argumentiert;

Der stetige Integrand ist auf einer kompakten Menge(Kreislinie) gleichmäßig stetig, damit kann man den Tausch durchführen?

Icb will vielmehr auf die Einzelfunktion heruas. Ich habe gedacht, man könnte Funktionsfolgen und einzelne Funktionen in einen Zusammenhang bringen, aber das geht ja nicht, wie du sagst.

Ich meine jetzt dieses Beispiel und die EInzelfunktion f(z). Diese ist auf der kompakten Kreislinie gleichmäßig stetig. Deshalb kann man Integral und limes vertauschen. Oder stimmt das gar nicht so?

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