Beweis in der Mengenlehre durchführen (OT)

19.11.2018, 15:03

Pippen

Zitat:

Original von Elvis
Hier darf man kein Assoziativgesetz voraussetzen, denn im Beweis soll gezeigt werden, dass eine Richtung dieses Gesetzes gilt. Die Teilmengenrelation ist bewiesen, wenn jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der linken Menge in der rechten Menge liegt.

Ich demonstriere hier einen Standardbeweis für eine Richtung des Kommutativgesetzes $\begin{eqnarray*} M\cup N=N\cup M \end{eqnarray*}$ , nämlich die Richtung $\begin{eqnarray*} M\cup N\subseteq N\cup M \end{eqnarray*}$

Behauptung : Für je zwei Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} M\cup N\subseteq N\cup M \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} x\in M \cup N\Rightarrow x\in M\vee x\in N\Rightarrow x\in N\vee x\in M\Rightarrow x\in N\cup M \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Die Umkehrung geht genauso, das Kommutativgesetz kann man deshalb auch so beweisen:

Behauptung : Für je zwei Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} M\cup N = N\cup M \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} x\in M \cup N\Leftrightarrow x\in M\vee x\in N\Leftrightarrow x\in N\vee x\in M\Leftrightarrow x\in N\cup M \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Das setzt das Kommutativgesetz in der Aussagenlogik bereits voraus. Wie beweist man das (in AL)?

19.11.2018, 16:57

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Frage werde ich hier nicht beantworten. Wenn es um einfache Mengenlehre geht darf man einfache Aussagenlogik voraussetzen.

19.11.2018, 22:22

Pippen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis in der Mengenlehre durchführen
Dann werde ich es tun:

Man beweist es durch Wahrheitstabellen und weiß dann, dass das Kommutativgesetz immer wahr ist, auch ohne Prämissen, also immer gilt (im Rahmen des aussagenlogischen Modells). Weil das aussagenlogische Modell im mengentheoretischen Modell mit enthalten ist, gilt daher das Kommutativgesetz auch dort. Eine andere Frage ist natürlich, ob man das Kg. mit Kalkülen ableiten kann...sind diese korrekt und vollständig, dann muss es ableitbar sein.

19.11.2018, 22:43

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du mit dem Begriff Modell sagen, und wie soll ein Modell in einem anderen Modell enthalten sein? Über logische Kalküle reden wir lieber nicht, da werden wir uns sicher nicht einig.
@Pfirsich/Kaffeetrinker
Achte bitte nicht auf unsinniges Geschwafel, das hilft dir nicht weiter. Konzentriere dich auf deine Aufgaben und arbeite mit der Mengenlehre, damit kommst du zum Ziel.

19.11.2018, 23:19

Pippen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Was willst du mit dem Begriff Modell sagen, und wie soll ein Modell in einem anderen Modell enthalten sein?

Ein Modell sind alle wahren Aussagen in einer interpretierten Struktur. In der Aussagenlogik (interpretierte Struktur) sind es jedenfalls alle Tautologien. Das Modell der Mengen enthält das Modell von Aussagen inzident, wobei das natürlich nirgends geregelt ist, ich denke aber das ist unstreitig, es gibt mE überhaupt kein Modell, wo das aussagenlogische Modell nicht mit drin ist.

Zitat:

Über logische Kalküle reden wir lieber nicht, da werden wir uns sicher nicht einig.

Es ging ja hier um den Beweis des Kommutativgesetzes für Konjunktion und Disjunktion. Da reicht es halt nicht festzustellen, dass das eine Tautologie ist, man muss es auch von einem Kalkül ableiten können, sonst wäre es eine unbeweisbare Wahrheit und das wäre dann keine "richtige" Wahrheit mehr, weil man sie nicht feststellen könnte. Eine solcher Kalkül wären Wahrheitstabellen (das wird meist übersehen, weil man immer nur die semantische Seite betrachtet und nicht, dass Wahrheitstabellen letztlich auch bloß ein Regelwerk sind, dessen Ableitung die gewünschte Verteilgung der Zeichen w/f ist)...oder eben jeder andere korrekt-vollständige Kalkül.

20.11.2018, 07:15

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Mathematik ist sehr viel einfacher und richtiger als deine Sprache. Kein einziger deiner unsauber formulierten Sätze ist eine wahre Aussage. Ich habe überhaupt keine Lust mehr, mich mit derartigem Unsinn zu befassen, denn das ist reine Zeitverschwendung.

20.11.2018, 20:53

Pippen

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles unstreitiger Standardkram.

20.11.2018, 22:24

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pippen
Ein Modell sind alle wahren Aussagen in einer interpretierten Struktur.

Ein Modell ist keine Mengen von Aussagen.

21.11.2018, 09:42

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus Beweis in der Mengenlehre durchführen abgetrennt.

21.11.2018, 18:52

Pippen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Pippen
Ein Modell sind alle wahren Aussagen in einer interpretierten Struktur.

Ein Modell ist keine Mengen von Aussagen.

Ein Modell ist eine Teilmenge aller wahren Aussagen aus einer Grundmenge von Aussagen. ME enthält das Modell der Mengenlehre das Modell der Aussagenlogik inzident, nur deshalb kann man zB die Mengenleichtheit als Bikonditional definieren.

22.11.2018, 02:19

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pippen

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Pippen
Ein Modell sind alle wahren Aussagen in einer interpretierten Struktur.

Ein Modell ist keine Mengen von Aussagen.

Ein Modell ist eine Teilmenge aller wahren Aussagen aus einer Grundmenge von Aussagen.

Was ist eine wahre Aussage?