Reihe auf Konvergenz überprüfen

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Vorfahrtsschild Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe auf Konvergenz überprüfen
Meine Frage:
Für ein Übungsblatt soll ich folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:

der Grenzwert muss nicht angegeben werden, falls sie konvergiert.

Meine Ideen:
Meine Vermutung ist, dass die Reihe divergiert weil ich sie mit der harmonischen Reihe vergleichen kann. Bei meinen Ansätzen mit dem Quotienkriterium bzw. Majorantenkriterium kommt aber nur Stuss raus...
Kann mir jemand mit einem Ansatz helfen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe auf Konvergenz überprüfen
Zitat:
Original von Vorfahrtsschild
Meine Vermutung ist, dass die Reihe divergiert weil ich sie mit der harmonischen Reihe vergleichen kann.

Und wie sieht dieser Vergleich aus? Am einfachsten prüfst du, wohin die Summanden konvergieren. smile
Vorfahrtsschild Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe auf Konvergenz überprüfen
Die Folge geht im unendlichen offenbar gegen 1, also divergiert die Reihe. Jetzt bin ich mir aber unsicher wie ich nachweise, dass die Folge tatsächlich gegen 1 geht, habe bisher nur große Zahlen eingesetzt, Logarithmen darf ich nicht anwenden weil wir sie noch nicht eingeführt haben.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe auf Konvergenz überprüfen
OK, ich hatte erwartet, daß die Beziehung bekannt ist. Im Zweifelsfall müßte das dann noch bewiesen werden. Insofern wäre dein Ansatz mit der Abschätzung zur harmonischen Reihe als Minorante etwas angenehmer.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Vorfahrtsschild
Jetzt bin ich mir aber unsicher wie ich nachweise, dass die Folge tatsächlich gegen 1 geht

Ein elementarer Beweis für : Die Bernoullische Ungleichung liefert für ganze Zahlen sowie die Abschätzung

,

umgestellt , zusammen mit der Abschätzung nach unten also . Nach Sandwichsatz folgt damit Grenzwert 1 für .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Oder als Auswahl hier noch meine Version:

Wir setzen

Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt:

==>

<==>


Die linke Seite konvergiert gegen Null, also konvergiert auch das x gegen Null.
Somit konvergiert gegen 1, woraus die Behauptung folgt.
Augenzwinkern
 
 
Vorfahrtsschild Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen lieben Dank für die Beweise, ich habe jetzt das Folgende für meine Aufgabe formuliert:
(1)
(2)
Weil (2) divergiert und nach Minorantenkriterium (1) divergiert somit auch
macht das so Sinn?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Vorfahrtsschild
(1)

Prinzipiell stimmt das, aber eine kleine Begründung wäre durchaus angebracht. Und eigentlich wolltest du doch mit der harmonischen Reihe vergleichen.

Zitat:
Original von Vorfahrtsschild
Weil (2) divergiert und nach Minorantenkriterium (1) divergiert somit auch
macht das so Sinn?

OK, das geht, aber wenn du weißt, daß ist, dann ist wegen (1) auch . Das macht die Betrachtung mit der Minorante überflüssig.
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