Polynom eindeutig?

21.11.2018, 14:05	PolynomOderSo	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom eindeutig? Meine Frage: Guten Tag zusammen! Ich habe eine Frage bezüglich Polynomen. Ich habe ein Polynom bestimmt und nun wir gefragt ob dieses Polynom eindeutig ist. Zu meiner Frage: Woran erkennt man das ein Polynom eindeutig ist und muss man dies auch dann noch beweisen? Meine Ideen: Mein Polynom welches ich aufgestellt habe lautet: x^3+2x^2-x-5
21.11.2018, 14:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Polynom ist ein Element eines Polynomrings R[x] über eine Ring R. Über welchen Polynomring sprichst du, d.h. aus welchem Ring R stammen die Koeffizienten ? Wie lautet die genaue Aufgabe ?
21.11.2018, 14:24	PolynomOderSo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso entschuldigung, hatte ich vergessen mit zuschreiben. Die kompletteAufgabe lautet: Bestimmen Sie ein Polynom $\begin{eqnarray} P\in \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ mit Grad kleiner als 4, so dass P(-1) = -3, P(0) = -5, P(1) = -3, P(2) = 9. Ist dieses Polynom eindeutig? Das Polynom welches ich bestimmt habe lautet wie gesagt: $\begin{eqnarray} x^{3}+2x^{2}-x-5 \end{eqnarray}$ .
21.11.2018, 14:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ein Polynom maximal $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Grades mit vorgegebenen Werten an $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ Stellen ist eindeutig bestimmt - Begründung: Angenommen, die Polynome $\begin{eqnarray} P,Q \end{eqnarray}$ erfüllen beide die Bedingung. Dann hat das Differenzpolynom $\begin{eqnarray} P(x)-Q(x) \end{eqnarray}$ mindestens $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ Nullstellen (nämlich eben diese Stellen mit den vorgegebenen Werten). Da aber andererseits $\begin{eqnarray} P(x)-Q(x) \end{eqnarray}$ maximal den Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ hat, muss es zwangsläufig das Nullpolynom sein.
21.11.2018, 14:50	PolynomOderSo	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, dankeschön!

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