Hebbare Singularität zeigen

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Mathematicsxx Auf diesen Beitrag antworten »
Hebbare Singularität zeigen
Meine Frage:
Hallo,
Ich soll für folgende Funktion zeigen, dass sie an der Stelle z=1 eine hebbare Singularität hat



Meine Ideen:
Ich wollte zeigen,dass man sie an der Stelle 1 stetig fortsetzen kann hab mit umformen das hinbekommen


jedoch macht das wenig Sinn weil csc(x)=1/sin(x) und somit wieder für z=1 sin(pi)=0 im Nenner stehen würde..

Hoffe jemand kann mir helfen

LG
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist , via Substitution geht es also um die Hebbarkeit der Singularität von an der Stelle . Und die sieht man z.B. anhand der Potenzreihenentwicklung

für .

Der andere Faktor macht nun gleich gar keinen Ärger: ist sogar eine ganze Funktion.
Mathematicsxx Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen,vielen Dank !
Mathematicsxx Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sollen noch zeigen, dass die Funktion auf beschränkt ist.

Ich hab

stimmt das soweit ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist via gleichbedeutend mit

.

Was das linke Ende betrifft, kann man nicht von einer Beschränktheit von sprechen. Aber wir haben ja auch noch den anderen Faktor, und für den gilt .

Wir müssen den also hier in diese Rechnung einbeziehen, am besten via , umgestellt . Das im Zähler kann nun den Gesamtterm "bändigen", in ganz ähnlicher Weise wie es der Faktor am anderen Intervallende tut.
Mathematicsxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke !



wobei ich mir unsicher beim letzten Schritt bin.. wenn wir u/sin(u) nicht beschränken können bzw. u/sin(u) mit u gegen 0 immer größer werden kann , wie kann dann der gesamte Ausdruck beschränkt sein ? verwirrt
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist in den komplexen Zahlen, da kannst du nicht einfach wild die Zahlen direkt per abschätzen, sondern musst das für deren Beträge tun. Deine Zeile da eben macht also überhaupt keinen Sinn. unglücklich
Mathematicsxx Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Kann ich statt "z" , " x + iy" schreiben und es dann versuchen abzuschätzen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, vermutlich haben wir hier die Sache falsch angepackt - man hätte gleich von Anfang an ein paar Geschütze aus Richtung Gammafunktion anfahren sollen:

Es gilt für alle , hier speziell angewandt auf ergibt das und damit insgesamt

.

Die hebbare Singularität in folgt jetzt unmittelbar, und für die Beschränktheit gibt es wohl lt. Wikipedia einen Satz von Wieland, der besagt

für alle mit .
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