Relative Kompaktheit zeigen

21.11.2018, 15:23

konrad1

Relative Kompaktheit zeigen

Hallo,

ich habe zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} {f € C^1[0,1]: |f'|<=1,f(1)=1} \end{eqnarray*}$

als Teilmenge von

$\begin{eqnarray*} C([0,1],R) \end{eqnarray*}$ relativ kompakt ist, d.h. ihr Abschluss ist kompakt. Ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll traurig

LG

Konrad

21.11.2018, 15:38

Elvis

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RE: Relative Kompaktheit zeigen

Zitat:

Original von konrad1
Hallo,

ich habe zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} \{f \in C^1[0,1]: |f'|\le 1,f(1)=1\} \end{eqnarray*}$

als Teilmenge von

$\begin{eqnarray*} C([0,1],R) \end{eqnarray*}$ relativ kompakt ist, d.h. ihr Abschluss ist kompakt. Ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll traurig

LG

Konrad

Erst einmal schön schreiben, so dass man es lesen kann.

21.11.2018, 15:45

konrad1

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Ui das ist mir jetzt peinlich, hab wohl einen Tippfehler ausbessern wollen und dann etwas gelöscht unglücklich

LG

Konrad

21.11.2018, 17:06

Guppi12

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Hallo,

Stichwort: Arzelà-Ascoli.

21.11.2018, 19:32

konrad1

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Hallo,

kann man sagen dass:

punktweise beschränkt folgt aus der Steigung von Betragsmäßig max. 1? Unendlich wirds dadurch ja mal nicht mehr?

Nur wie zeige ich die gleichgradige Stetigkeit? Ist doch irgendwie mehr Funktionalanalysis? (und das kommt bei uns im Studienplan erst 2020)

LG

Konrad

21.11.2018, 19:45

Guppi12

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Hallo,

nein, da ist nicht mehr Funktionalanalysis drin, als der Satz von Arzelà-Ascoli, der Rest ist Stoff des ersten Semesters.

Für die gleichgradige Stetigkeit ist ja der Ausdruck $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$ wichtig, wie könnte man den in Zusammenhang mit der Ableitung bringen?

Zitat:

punktweise beschränkt folgt aus der Steigung von Betragsmäßig max. 1? Unendlich wirds dadurch ja mal nicht mehr?

Ich sehe da nur ein "handwaving argument" anstelle eines Beweises. Ich würde mich als erstes um die gleichgradige Stetigkeit kümmern, vielleicht bekommst du dann eine Idee für die punktweise Beschränktheit.

21.11.2018, 20:47

konrad1

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Also wenn $\begin{eqnarray*} |x-y|\leq\delta \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq\epsilon. \end{eqnarray*}$ Geht folgendes: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq |f(x)-(x-y)f'| \end{eqnarray*}$ was für $\begin{eqnarray*} |f'| \leq1 \end{eqnarray*}$ aussagt dass so ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ existiert? Also wenn ich sage |f'|=1 dann ist 1*|x-y|der größtmögliche Abstand zwischen den Funktionswerten und somit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ?

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