Funktionalanalysis: Distanzfunktion

Neue Frage »

FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Funktionalanalysis Aufgabe:

Es geht um die Distanzfunktion, die wie folgt definiert wurde:
bedeutet, dass ein mit zu finden ist.


Ü14: Man konstruiere Banachräume und abg. nichtleere konvexe Mengen so, dass

keine Lsg. hat
mehrere Lsg. hat


Ü15: sei Hilbertraum, abg. nicht leer , konvex. Man zeige, dass genau eine Lsg. hat.

Meine Ideen:
Ich finde die erste Aufgabe schon wieder sehr abstrakt. Unter der Distanzfunktion stell ich mir bis jetzt so eine Art Orthogonalprojektion der Funktionalanalysis vor. Von daher würde es mir schon sehr helfen, wenn mir jemand die Abb. erklären könnte. Ansonsten wäre mein Ansatz wahrscheinlich etwas mit Banachräumen wie oder zu machen... das ist aber reines Bauchgefühl.


Bei der zweiten Aufgabe würde ich annehmen, dass es zwei Lösungen gibt, und versuchen zu zeigen, dass diese eben gleich sind. Idee hier ist auszunutzen das wir in einem Hilbertraum sind und somit gilt. Vielleicht kann ich irgendwo noch die Konvexität einbauen.
Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

sodelle, hier ist meine Idee zur Ü15:

Angenommen besäße zwei Lösungen und , d.h.

(*)

Man betrachte nun , welches aufgrund der Konvexität von existiert. Dann gilt unter der Definition der Norm innerhalb eines Hilbertraumes:



(**) hier wurde Parallellogrammungleichung verwendet:

da erhalten wir einen Widerspruch zur Minimalität dieser, da der letzte Term somit größer als Null ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »