Konvergenz von Reihe

21.11.2018, 16:31

Froschfrau

Konvergenz von Reihe

Meine Frage:
Ich soll die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\geq 1}^{}\frac{(2n)!}{n^{n+1}\cdot n! } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da ich nur zeigen soll dass sie konvergiert/divergiert reicht mir wohl das Majoranen-/Minorantenkriterium. Ich hab aber leider gar keine Ahnung wie ich den Bruch vereinfachen kann.
Mein einziger Ansatz war dass $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!} = \frac{1\cdot 2\cdot ....\cdot n\cdot ...\cdot (2\cdot n)}{n!} = (2n)!-n! \end{eqnarray*}$ , was mich auch nicht wirklich weiter bringt.

Kann mir jemand helfen oder wenigstens einen Ansatz liefern?

LG

21.11.2018, 16:38

HAL 9000

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Bei Produkten/Quotienten von Fakultäten ist meist das Quotientenkriterium einen Versuch wert, denn sehr oft kürzt sich da ganz schön was gegenseitig weg - so auch hier.

Zitat:

Original von Froschfrau
$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!} = \frac{1\cdot 2\cdot ....\cdot n\cdot ...\cdot (2\cdot n)}{n!} ~{\color{red}= (2n)!-n!} \end{eqnarray*}$

Man betrachte nur mal das Resultat $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!} \stackrel{???}{=} (2n)!-n! \end{eqnarray*}$ der gesamten Gleichungskette... Grober Unfug. unglücklich

21.11.2018, 17:10

Froschfrau

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Gut ich ging davon aus dass n! sich raus kürzen ließe da im Zähler ja schließlich auch n! * (n+1)*...*(2n) steht.
War wohl der falsche Ansatz. Das kommt dabei raus wenn man den ganzen Tag rechnet Hammer

Quotientenkriterium ist leider nicht gefragt da dieses im Rahmen der Vorlesung noch gar nicht behandelt wurde.. Lösbar sollte diese auf jedenfall ausschließlich mit Majoranten- oder Minorantenkriterium sein.

21.11.2018, 17:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Froschfrau
Gut ich ging davon aus dass n! sich raus kürzen ließe da im Zähler ja schließlich auch n! * (n+1)*...*(2n) steht.

Das geht ja auch, nur wie kommst du damit auf die Differenz (!?) $\begin{eqnarray*} (2n)!-n! \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

Zitat:

Original von Froschfrau
Quotientenkriterium ist leider nicht gefragt da dieses im Rahmen der Vorlesung noch gar nicht behandelt wurde.. Lösbar sollte diese auf jedenfall ausschließlich mit Majoranten- oder Minorantenkriterium sein.

So ein Schwachsinn... Mit dem Quotient, der sich hier als größer als 1 herausstellt, kann man natürlich auch argumentieren, dass die Reihenglieder keine Nullfolge bilden - womit das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz nicht erfüllt ist. Wenn du jetzt auch noch sagst, dass ihr das "nicht verwenden" dürft, dann mache ich nur den hier: Finger1

21.11.2018, 18:23

Froschfrau

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Ich dachte (n+1)*....*(2n)=(2n)!-n! weil ja alles was vor (n+1) kommen würde nichts anderes als n! ist.

Gut also wenn ich mich am Quotientenkriterium versuche komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{| a_{n+1} | }{a_{n} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(2n+1)!}{(n+1)^{n+2}\cdot (n+1)! } }{\frac{(2n)!}{n^{n+1}\cdot n! } } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)!\cdot n^{n+1}\cdot n! }{(n+1)^{n+2}\cdot (n+1)! \cdot (2n)!} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)2n!\cdot n^{n+1}\cdot n! }{(n+1)^{n+2}\cdot (n+1)n! \cdot (2n)!} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)\cdot n^{n+1} }{(n+1)^{n+2}\cdot (n+1) } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)\cdot n^{n}\cdot n }{(n+1)^{n}\cdot (n+1)^{3} } \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Wie kann ich dann weiter machen?

21.11.2018, 18:51

HAL 9000

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das passiert notorischen Klammersparern...
Falsch eingesetzt: Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{(2{\color{red}(}n+1{\color{red})})!}{(n+1)^{n+2}\cdot (n+1)!} = \frac{(2n+{\color{red}2})!}{(n+1)^{n+2}\cdot (n+1)!} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

21.11.2018, 19:00

Froschfrau

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RE: das passiert notorischen Klammersparern...
Würde denn dann (2n+2)! = (2n+2)2n! richtig sein?

21.11.2018, 19:01

HAL 9000

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Nein, richtig ist $\begin{eqnarray*} (2n+2)! = (2n+2)\cdot (2n+1)! = (2n+2)(2n+1)\cdot (2n)! \end{eqnarray*}$ .

21.11.2018, 19:05

Froschfrau

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Gut also mit den Korrekturen müsste ich dann aber dennoch bei

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)(2n+2)\cdot n^{n}\cdot n }{(n+1)^{n}\cdot (n+1)^{3} } \end{eqnarray*}$ enden. Oder hab ich noch was übersehen? Kommilitonen scheitern leider auch.. Big Laugh

Falls das so stimmt, wie kann ich dann weiter machen?

21.11.2018, 19:14

HAL 9000

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Wieso "dennoch"? Das ist jetzt ein fundamental anderer Term, was das Grenzverhalten $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ betrifft, im Vergleich zu deinem falschen Term oben. Augenzwinkern

Etwas vereinfacht (in Hinblick auf die Grenzwertermittlung) ergibt sich für den Quotienten

$\begin{eqnarray*} \frac{2(2n+1)n^{n+1}}{(n+1)^{n+2}} = \frac{4+\frac{2}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}} \end{eqnarray*}$ .

21.11.2018, 19:33

Froschfrau

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"Dennoch" weil sich "nur" ein Teil des Terms änderte..

Wenn ich mir den vereinfachten Quotienten dann für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ anschaue sollte das ganze als Folge ja gegen 4 konvergieren. Da es aber um die Reihe geht sollte ich dann laut Quotientenkriterium zu dem Schluss kommen dass wegen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1} | }{| a_{n} | } > 1 \end{eqnarray*}$ die Reihe divergiert.

Sehe ich das richtig? Bin mit dem Quotientenkriterium wie gesagt noch nicht wirklich vertraut.

21.11.2018, 19:37

HAL 9000

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Nein, nicht gegen 4, sondern gegen $\begin{eqnarray*} \frac{4}{e} \end{eqnarray*}$ . Aber auch dieser Wert ist größer als 1.

21.11.2018, 19:57

Froschfrau

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Dann würde mich doch noch interessieren was an

$\begin{eqnarray*} \frac{4+\frac{2}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{4+{\color{red}{0}}}{\left(1+{\color{red}{0}}\right)^{\infty}} = \frac{4}{1^{\infty } } \end{eqnarray*}$ falsch ist.

Aber soweit trotzdem schonmal vielen vielen Dank. Gott

War sehr hilfreich!

21.11.2018, 20:06

Guppi12

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Viel interessanter ist doch die Frage, warum das richtig sein sollte.

Wenn du eine Behauptung aufstellst, musst du sie doch auch begründen können, also was ist die Begründung hinter dieser Umformung, welcher Satz steht dahinter?

21.11.2018, 20:07

HAL 9000

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Sowas wie "partielle Grenzübergänge"

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+2} \stackrel{???}{=} \lim_{n\to\infty} \left(1 + 0 \right)^{n+2} \end{eqnarray*}$

(in einem Teil geht man zum Grenzwert über, in einem anderen jetzt eben gerade mal nicht) ist Unfug, derlei Grenzwertregeln gibt es nicht!!! Auf dem Level könnte man auch argumentieren

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+2} \stackrel{???}{=} \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{\infty} = \lim_{n\to\infty} \infty = \infty \end{eqnarray*}$ ,

was genauso Blödsinn ist. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+2} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n\cdot \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^2 = e\cdot 1 = e \end{eqnarray*}$ ,

den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \end{eqnarray*}$ solltest du in der Schule kennengelernt haben.

21.11.2018, 20:19

Froschfrau

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Alles klar. In dem Mathe-Grundkurs (kein mathematischer Studiengang) den ich hab wurden diese Teil-Näherungen wie 1/n=0 von Tutoren und Professoren gleichermaßen verwendet. Wahrscheinlich weil es für unsere Zwecke "ausreicht" und nicht von größerem Interesse dass es eigentlich falsch ist. Ich kann aber gut verstehen wie Menschen mit einem etwas höheren mathematischen Verständnis sich nicht damit abfinden können solche Näherungen zu verwenden, weil sie ja nunmal einfach falsch sind. Big Laugh

Vor allem gibt es bestimmt unzählige Gleichungen bei denen diese Unterschiede das gesamte Ergebnis auf den Kopf stellen.

Ich danke nochmal vielmals für die aufschlussreiche Hilfe!! Danke HAL.

Beste Grüße

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