Algebraische Zahl über Q

22.11.2018, 11:27	miri113	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraische Zahl über Q Meine Frage: $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} cos(\frac{\pi }{n}) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich muss also ein allgemeines $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ finden, für das gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^{k} \lambda _{j} (cos(\frac{\pi }{n}))^{j} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda _{k}=1 \end{eqnarray}$ da das Polynom normiert sein soll. k muss sich also irgendwie aus n ergeben. Hat da jemand einen Tipp zum starten?
22.11.2018, 11:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.maths.manchester.ac.uk/~cds/articles/trig.pdf . Viel Vergnügen beim Lernen. Hier hat zetaX eine allgemeinere Antwort: https://matheplanet.com/default3.html?ca...eoQFjAAegQICRAB (Tipp: erst lesen, wenn du genug gelernt hast und selbst versucht hast, eine Antwort zu finden und nach eifrigem Bemühen immer noch nicht zum Ziel kommst.)
22.11.2018, 12:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte jetzt mit $\begin{eqnarray} -1=(e^{i\frac \pi n})^n = (\cos(\frac \pi n)+i\sin\frac\pi n)^n \end{eqnarray}$ und dem binomischen Lehrsatz angefangen. Die imaginäre Einheit in den Summanden verschwindet bei geraden Exponenten und der trigonometrische Pytharogras sollte den Rest erledigen
22.11.2018, 14:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss unbedingt das Polynom direkt angegeben werden? Bei Kenntnis dessen, dass die algebraischen Zahlen einen Körper bilden (), genügt doch auch die Feststellung, dass $\begin{eqnarray} z_{1,2} = \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \pm i \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \end{eqnarray}$ beide Lösungen von $\begin{eqnarray} z^n+1=0 \end{eqnarray}$ sind, damit ist auch $\begin{eqnarray} \frac{z_1+z_2}{2}= \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \end{eqnarray}$ algebraisch. Natürlich lädt man auf diese Weise die ganze Komplexität bei () ab, aber wenn dieser Beweis dort einmal vollbracht wurde, muss man ja dieses Rad nicht immer wieder neu erfinden. P.S.: Was speziell $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \end{eqnarray}$ betrifft kann man natürlich auch $\begin{eqnarray} T_n(x)+1 \end{eqnarray}$ wählen mit dem Tschebyscheff-Polynom (erster Art) $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ .
22.11.2018, 19:01	miri113	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten! Die von URL genannten Gleichungen sind ja einfach mit der Euler-Formel einzusehen. Also ist für $\begin{eqnarray} 0=z^{n} +1 \end{eqnarray}$ schonmal $\begin{eqnarray} z_{1} \end{eqnarray}$ eine Lösung, fehlt also noch $\begin{eqnarray} z_{2} \end{eqnarray}$ , aber mit $\begin{eqnarray} cos(\pi /n)-isin(\pi /n)=cos(\pi /n)-i\frac{e^{i\frac{\pi }{n} }-e^{-i\frac{\pi }{n} }}{2i}=...=e^{-i\frac{\pi }{n} } ; (e^{-i\pi /n})^{n}=-1 \end{eqnarray}$ folgt doch auch, dass $\begin{eqnarray} z_{2} \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist und damit wie HAL begründet hat dann auch die Behauptung oder? Muss ich mich da noch mit binom. Lehrsatz etc. rumschlagen?

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