Unklarheit bei Folgerung für Minimalpolynom

22.11.2018, 16:09

Snexx_Math

Unklarheit bei Folgerung für Minimalpolynom

Hallo zusammen,

wir haben im Tutorium Folgendes bewiesen und verstehe dabei einen Schritt nicht ganz:

Sei $\begin{eqnarray*} f \in \ \ End_{\mathbb C}(V) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^n=id_V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^4=id_V \Leftrightarrow f^4-id_V = 0 \Leftrightarrow (X^4-1)(f)=0 \Leftrightarrow X^4-1 \in \ I_f \Rightarrow \mu_f \mid X^4-1 \end{eqnarray*}$

Nun verstehe ich hier erstmal alles , wir folgern nun aber aus : $\begin{eqnarray*} \mu_f \mid X^4-1 \end{eqnarray*}$
, dass $\begin{eqnarray*} \mu_f = (X-\lambda_1)^1\cdot ... \cdot (X-\lambda_r)^1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq \lambda_j , \ \ falls \ \ i\neq j, \lambda_1, ... , \lambda_r \in \{1,-1,i,-i\} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} X^4-1=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe dies aber wirklich garnicht. Wir nehmen doch jetzt an , dass die EW von f einfach die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} X^4-1 \end{eqnarray*}$ sind, aber wir wissen doch nicht, ob $\begin{eqnarray*} \chi_f=X^4-1 \end{eqnarray*}$ nur weil $\begin{eqnarray*} X^4-1 \in \ I_f \end{eqnarray*}$ .

Kann mich bitte jemand aufklären warum man also folgern kann, dass aus $\begin{eqnarray*} \mu_f \mid X^4-1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mu_f = (X-\lambda_1)^1\cdot ... \cdot (X-\lambda_r)^1 \end{eqnarray*}$

LG

Snexx_Math

22.11.2018, 16:22

Guppi12

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Hallo,

wenn $\begin{eqnarray*} \mu_f \end{eqnarray*}$ einen Linearfaktor mehrfach enthalten würde, müsste auch $\begin{eqnarray*} X^4-1 \end{eqnarray*}$ diesen Faktor mehrfach enthalten, weil $\begin{eqnarray*} X^4-1 \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \mu_f \end{eqnarray*}$ ist. Dies ist aber nicht der Fall, wie die Faktorisierung, die du angegeben hast, zeigt.

22.11.2018, 16:39

Snexx_Math

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Danke erstmal. smile

Dessen war ich mir aber bewusst. Aber kann nicht: $\begin{eqnarray*} \mu_f = (X-1)(X+1) \end{eqnarray*}$ sein z.B. . Also nur manche, aber eben nicht alle Linearfaktoren haben ? Dann würde $\begin{eqnarray*} \mu_f \mid X^4-1 \end{eqnarray*}$ ja gelten.

Also wie begründet man, dass die Potenz jeder Nullstelle mindestens 1 in $\begin{eqnarray*} \mu_f \end{eqnarray*}$ seien muss ? Wir wissen ja nicht, dass die Nullstellen von X^4-1 die Eigenwerte von f sind, oder folgt das aus iwas ?

22.11.2018, 16:57

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Zitat:

Also wie begründet man, dass die Potenz jeder Nullstelle mindestens 1 in $\begin{eqnarray*} \mu_f \end{eqnarray*}$ seien muss

Das steht nirgendwo. Da steht nur, dass $\begin{eqnarray*} \mu_f \end{eqnarray*}$ in r paarweise verschieden Linearfaktoren zerfällt. Niemand behauptet, dass r=4 sein muss.
Muss es natürlich auch nicht, weil ja f=id sein kann.

22.11.2018, 17:14

Snexx_Math

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Achso, also sagt man einfach egal wie viele EW f hat, das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_f \end{eqnarray*}$ hat für jeden EW egal wie viele es auch seien mögen, höchstens die Potenz 1.

Dankeschön.

22.11.2018, 17:42

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Zitat:

das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_f \end{eqnarray*}$ hat für jeden EW egal wie viele es auch seien mögen, höchstens die Potenz 1.

Das ist grauenhaft formuliert!

Abgesehen davon kann im allgemeinen auch ein Minimalpolynom durchaus Linearfaktoren in höheren Potenzen enthalten.

22.11.2018, 17:45

Snexx_Math

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Zitat:

Original von URL
Abgesehen davon kann im allgemeinen auch ein Minimalpolynom durchaus Linearfaktoren in höheren Potenzen enthalten.

Aber eben hier nicht oder ? Sonst wäre die Aussage ja falsch. Weil dann würde $\begin{eqnarray*} \mu_f \mid X^4-1 \end{eqnarray*}$ ja nicht gelten.

22.11.2018, 18:04

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korrekt

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