Minimalpolynom bestimmen |
23.11.2018, 11:38 | jules156 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Minimalpolynom bestimmen Für wobei p Primzahl ist und primitive p-te Einheitswurzel soll das minimalpolynom bestimmt werden. Meine Ideen: Kreisteilungspolynome sind so im allgemeinen nicht bekannt, ich muss so ein Polynom g(x) finden für das g(w)=0 ist und das irreduzibel ist. Ich könnte die Darstellung eines Kreisteilungspolynom für primzahlen von wiki bspw. übernehmen und zeigen das dafür g(w)=0 ist aber dann muss ich zumindest noch die Irreduzibilität zeigen, was ohne die Kenntnis der Kreisteilungspolynome erstmal nicht so direkt klar ist. Ist also hier irgendwie ein anderer Weg möglich? |
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23.11.2018, 12:24 | NurEinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! 1) Für die Bestimmung eines Polynoms , sodass , ist die geometrische Summenformel und hilfreich. 2) Um die Irreduzibilität des in 1) bestimmten Polynoms zu zeigen, reicht es zu zeigen, dass irreduzibel ist (warum?) Um die Irreduzibilität von letzterem zu zeigen, kann man anschauen, wie sich das Polynom unter der Substitution verhält. Irgendwann muss man dann noch verwenden, dass eine Primzahl ist... |
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23.11.2018, 13:35 | jules156 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort, mit 1) habe ich genau das Polynom herleiten können Bei der Irreduzibilität komme ich leider noch nicht weiter |
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23.11.2018, 13:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der diesbezügliche Tipp von NurEinGast zielt wohl auf das Eisensteinkriterium ab. |
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23.11.2018, 13:47 | NurEinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann schreibe erst mal, was das Polynom ist. Bei der Irreduzibilität musst du mir sagen, wo du feststeckst. Was genau verstehst du nicht? Schon den Ansatz? Was hast du versucht? |
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23.11.2018, 14:09 | jules156 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Polynom ist An das Eisensteinkriterium habe ich auch gedacht, aber unser Polynom hat nur Koeffizienten von 1 und dafür macht das irgendwie keinen Sinn |
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23.11.2018, 14:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorgfältig L E S E N !!! NurEinGast hat nicht von , sondern gesprochen. |
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23.11.2018, 14:21 | NurEinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, dann reden wir von demselben Polynom. Gehe jetzt wie folgt vor: - Die Abbildung , die durch und definiert wird, ist ein Ringautomorphismus. Ist dir klar, dass genau dann irreduzibel ist, wenn irreduzibel ist? Wenn nein, beweise es. - Nach der geometrischen Summenformel haben wir jetzt . Bereche jetzt auf zwei Arten (d.h. nutze, dass ein Ringhomomorphismus ist). Dann hilft der binomische Lehrsatz - wenn du ihn auf der richtigen Seite der Gleichung anwendest, ist es nicht mal so schlimm. |
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23.11.2018, 17:03 | jules156 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So sollte die Berechnung aussehen: (so wurde es in meiner Mitschrift gemacht, ich denke etwas anders als du es machen wolltest aber gleiches prinzip?) und der Rest folgt mit Eisensteinkriterium also g(X+1) irred. also g(X) irred. |
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23.11.2018, 17:19 | NurEinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast schon eine Mitschrift? Einige Anmerkungen: - Was soll bedeuten? - Ich mag es nicht, Brüche von Polynomen zu schreiben, weil man à priori kein Polynom als Ergebnis kriegt (Divison ist im Polynomring nicht definiert). Arbeite lieber mit der eindeutigen Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Elemente. - Das "Der Rest folgt mit dem Eisensteinkriterium" sollte man natürlich noch ausführen, weil hier entscheidend eingeht, dass prim ist. Des Weiteren kann man das Eisensteinkriterium nur anwenden, wenn man ein ganzzahliges Polynom hat, was hier der Fall ist. Das heißt, dass irreduzibel ist. Wieso ist dann auch in irreduzibel? |
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23.11.2018, 17:46 | jules156 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja deine Äquivalenz hatten wir als Beobachtung und dann so etwas ähnliches. Also genau unser Polynom g(x). Begründung für Eisenstein wäre Bei der letzten Frage würde ich auf Körpererweiterung tippen, bin mir aber nicht sicher |
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23.11.2018, 20:05 | NurEinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sieht gut aus. Zur letzten Frage: Da kann man einfach das Lemma von Gauß bemühen. |
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23.11.2018, 23:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die letzten beiden sollten wohl eher heißen. |
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