Fläche von Segmenten einer rotierten Ellipse

23.11.2018, 13:50	psychonaut	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche von Segmenten einer rotierten Ellipse Liebe Forenmitglieder, ich brüte seit geraumer Zeit über dem folgenden Problem: Ich habe eine rotierte Ellipse, die in vier Segmente aufgeteilt ist (s. Abbildung im Anhang). Ziel ist es, die Flächen der vier Segmente zu berechnen. Zwar hat meine Google-Recherche verschiedene Formeln und Rechner zutage gebracht, bei diesen ist die Ellipse aber nie rotiert. Meine aktuelle Idee ist, aus jedem Segment ein Dreieck abzutrennen (in der Abbildung oben rechts dargestellt). Die Fläche des Dreiecks sollte leicht zu bestimmen sein, aber dann fehlt immer noch das Teilsegment. Hat jemand einen Lösungsvorschlag oder weiß, wo ich zu dem Thema nachschlagen kann? Vielen Dank im Voraus! [attach]48385[/attach]
23.11.2018, 14:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee mit der Dreiecksabtrennung klingt ja schon mal nicht schlecht. Den "Rest" des Gebietes kannst du über eine passende Integration ermitteln, das aber am besten in einem Koordinatensystem, in dem die Ellipse achsenparallel liegt - macht weniger Kopfschmerzen. EDIT: Oder noch eine andere Idee, um die Integration ganz zu vermeiden: Übergang in achsenparalleles Koordinatensystem so wie bereits empfohlen, dann Streckung/Stauchung einer Achse in der Weise, dass die Ellipse zum Kreis wird. (Die Begrenzungsgeraden deiner Gebiete bleiben dabei Geraden, sie schneiden sich durch dieser Verzerrung nur nicht mehr notwendig rechtwinklig.) Dann kannst du einfach die bekannten Kreissegment-Flächenformeln einsetzen, denn die Flächen werden genauso mit diesem Streckungs/Stauchungs-Faktor umgerechnet.
23.11.2018, 16:28	psychonaut	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für Deine Antwort! Ich werde mal versuchen, mich damit weiter durchzubeißen.
24.11.2018, 16:20	psychonaut	Auf diesen Beitrag antworten »
Soo, ich habe mal weiter rumprobiert und bin ein kleines Stückchen weiter gekommen. Mein Programm findet inzwischen die Schnittpunkte der Begrenzungsgeraden mit der Ellipse und berechnet die Fläche des Dreiecks ABC. Wenn ich die Ellipse über einen Faktor zum Kreis strecke funktioniert auch die Berechnung des Segments zwischen B und C. Was ich immer noch nicht verstehe, ist, wie die Drehung des Koordinatensystem funktioniert und wie ich von der Fläche des Kreissegments auf die Fläche des Ellipsensegments schließen kann. Ich bräuchte eine Erklärung für Nicht-Mathematiker [attach]48404[/attach] [attach]48405[/attach]
25.11.2018, 12:39	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
... Streckung/Stauchung einer Achse in der Weise, dass die Ellipse zum Kreis wird ... genau dies wäre auch meine Idee !
26.11.2018, 16:47	psychonaut	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das Problem nun endlich lösen können, wenn auch mit ein wenig Trickserei. Hier mein Vorgehen (falls mal jemand ein ähnliches Problem haben sollte): - Berechnung der vier Schnittpunkte zwischen Ellipse und Geraden - Berechnung der Dreiecke zwischen Schnittpunkt der beiden Gerade und je zwei Punkten auf der Ellipse - Rotation der vier Schnittpunkte in ein achsenparalleles Koordinatensystem wie von HAL 9000 vorgeschlagen - Streckung der Ellipse zum Kreis mit entsprechender Verschiebung der Punkte - Bestimmung der vier Kreissegment-Flächen - Stauchung der Flächen Dann gab es noch einen Spezialfall zu berücksichtigen, nämlich die Aufteilung in drei Segmente, wenn der Schnittpunkt der beiden Geraden außerhalb der Ellipse liegt, aber auch das war lösbar. Wenn das Programm fertig ist, poste ich es hier mal, damit man sieht, wofür das Ganze gut war Danke nochmal für eure Hilfe!
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