X binomialverteilt, Erwartungswert von E[X^2]

23.11.2018, 17:07	Bobnick	Auf diesen Beitrag antworten »
X binomialverteilt, Erwartungswert von E[X^2] Meine Frage: Schönen guten Abend, wie bereits der Titel schon verrät, muss ich den Erwartungswert von E[X^2] berechnen, wobei X~binomial verteilt ist. Leider verstehe ich nicht wie überhaupt P(X^2=k) definiert ist. Könnte mir jemand ein Beispiel geben, woran dies klar wird? Am besten für das Beispiel, wenn X~binomial verteilt ist und n=5. Vielen Dank! Meine Ideen: Meine Idee ist, falls P(X^2=4) (für den Fall, dass X~binomial Verteilt ist und n=5) gibt es ja mehrere Möglichkeiten. Es gilt: P(X=2,X=2), P(X=4,X=1), P(X=1,X=4). Wie könnte man den P(X=2,X=2) ausrechnen. Die sind ja nicht stochastisch unabhängig oder?!
23.11.2018, 17:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Seltsam, dass so viele Leute nicht wissen, wie man den Erwartungswert der Funktion einer Zufallsgröße basierend auf der Verteilung dieser Zufallsgröße ausrechnet: https://www.matheboard.de/thread.php?pos...377#post2134377 Hier mit $\begin{eqnarray} g(k)=k^2 \end{eqnarray}$ bedeutet das $\begin{eqnarray} E(X^2) = \sum_{k=0}^n k^2\cdot P(X=k) = \sum_{k=0}^n k^2\cdot \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ , viel Spaß beim Vereinfachen. ----------------------------------- Alternativweg: Eine binomialverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ ist darstellbar als Summe von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unabhängig identisch Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} Y_k\sim B(1,p) \end{eqnarray}$ , für die gilt einfach $\begin{eqnarray} E(Y_k)=E(Y_k^2)=P(Y_k=1)=p \end{eqnarray}$ , außerdem gilt für $\begin{eqnarray} j\neq k \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} E(Y_jY_k)=E(Y_j)E(Y_k)=p^2 \end{eqnarray}$ . Damit folgt für $\begin{eqnarray} X=\sum_{k=1}^n Y_k \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} E(X^2) = E\left( \sum_{k=1}^n Y_k \cdot \sum_{j=1}^n Y_j \right) = \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n E\left( Y_k Y_j \right) = n\cdot E\left(Y_1^2\right) + n(n-1) E\left(Y_1Y_2\right) = np + n(n-1)p^2 = np(1-p) + n^2p^2 \end{eqnarray}$ .

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