cos(3)<0

23.11.2018, 19:35	David 96	Auf diesen Beitrag antworten »
cos(3)<0 Meine Frage: Ich soll zeigen, dass cos(3)<0 ist. Nur komme ich leider nicht wirklich voran wäre toll wenn mir jemand helfen könnte. MfG David. Meine Ideen: Was mir als Tipp mitgegeben wurde von Tutor ist: $\begin{eqnarray} \cos(3) = 1 - \frac{3^2}{2!}+ \frac{3^4}{4!} - \frac{3^6}{6!} + \sum\limits_{k=4}^{\infty } (-1)^k \frac{3^{2k} }{(2k)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3^{2k} }{(2k)!} \leq q^{k-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q<1 \end{eqnarray}$
23.11.2018, 20:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tips geben die Richtung recht gut vor: Verrechne die ersten vier Summanden und schätze den Rest durch eine geometrische Reihe ab.
23.11.2018, 21:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder auch ohne geometrische Reihe, dabei nutzend, dass die Absolutwerte der Reihenglieder bereits ab dem zweiten Glied fallen: $\begin{eqnarray} \cos(3) = 1 - \frac{3^2}{2!}+ \frac{3^4}{4!} - \sum\limits_{m=2}^{\infty} \left( \frac{3^{4m-2}}{(4m-2)!} - \frac{3^{4m}}{(4m)!} \right) = -\frac{1}{8} - \sum\limits_{m=2}^{\infty} \left( 4m(4m-1) - 9 \right) \frac{3^{4m-2}}{(4m)!} < -\frac{1}{8} \end{eqnarray}$ , denn für $\begin{eqnarray} k\geq 2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 4k(4k-1)-9\geq 8\cdot 7-9 > 0 \end{eqnarray}$ .

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