Grenzwert/Konvergenz Aufgabe

24.11.2018, 09:51

vlb

Grenzwert/Konvergenz Aufgabe

Meine Frage:
Hallo die Aufgabe lautet :
Zeigen Sie folgende Sachverhalte, indem sie zunächst vereinfachen und umformen und anschließend die Definition der Konvergenz anwenden.(Sie sollen also zeigen, dass die entsprechende Folge (an)n Element der natürlichen Zahlen gegen einen Grenzwert a konvergiert, indem Sie zeigen, dass für alle E>0 ein n0 E N existiert sodass |an-a|<E für alle n größer gleich n0
a) limes n gegen unendlich n²-1/n² = 1
b) limes n gegen unendlich 4n²-1/4n²+4n+1 =1
c) limes n gegen unendlich n/2 hoch n

Tipp : Erinnern Sie sich an das archimedische Prinzip!
Tipp zu c): Sie dürfen die bekannte Tatsache aus der Vorlesung und dem letzten Übungsblatt benutzen, dass 2 hoch n größer gleich n² für alle n größer gleich 4 ist.

Meine Ideen:
So.. bei a und b habe ich einfach die höchste Potenz ausgeklammert, gekürzt und dann mir angeschaut wohin die einzelnen Variablen gegen unendlich streben, dabei kamen auch die jeweiligen Grenzwerte heraus. Dann habe ich noch die Definition der Konvergenz dazu geschrieben, aber anstatt a den jeweiligen Grenzwert eingesetzt.

... Mein Bauchgefühl sagt mir aber, dass das nicht ausreicht. ..Außerdem soll ich ja u.A. auch das A.Prinzip verwenden. Ich verstehe dieses Prinzip, aber sitze auf den Schlauch, wie ich das hier anwenden soll. Wir hatten in der Uni noch keine Beispielaufgaben von diesen Typus. Könnt ihr mir helfen ?

Und bei c) weiß ich schlicht und einfach gar nicht wo ich anfangen soll. Könnte mir jemand Starthilfe geben ?

Alles Liebe!

24.11.2018, 09:55

Leopold

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Bitte korrigiere zuerst deine Angaben, siehe hier.

24.11.2018, 10:00

Guppi12

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Hallo,

wenn ihr noch gar keine Beispiele in der Uni hattte, dann wohl auch nicht, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Das müsstest du also auch noch zeigen und das macht man mit dem Archimedischen Prinzip.

Hattet ihr schon Grenzwertsätze? Daraus kann man dann vieles vereinfachen.

Übrigens: $\begin{eqnarray*} n^2-\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , sondern konvergiert gar nicht.
Und $\begin{eqnarray*} 4n^2-\frac 14 n^2+4n+1 \end{eqnarray*}$ konvergiert ebenfalls nicht.

Solltest du stattdessen $\begin{eqnarray*} \frac{n^2-1}{n^2} \end{eqnarray*}$ meinen, dann schreib doch auch (n^2-1)/n^2, die übliche Regel ist nämlich Punkt vor Strichrechnung und damit wird dann eben n^2-1/n^2 gelesen als $\begin{eqnarray*} n^2-\frac {1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Meinst du bei Aufgabe c) $\begin{eqnarray*} \left(\frac n2\right)^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2^n} \end{eqnarray*}$ ?

Um solche Unklarheiten zu vermeiden, würde ich Latex empfehlen, du kannst dafür den Formeleditor verwenden.

24.11.2018, 10:03

vlb

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Tut mir Leid! smile

Also nochmal:
a) limes n gegen unendlich (n²-1)/n² =1
b) limes n gegen unendlich(4n²-1)/(4n²+4n+1) =1
c) limes n gegen unendlich n/2^n = 0

24.11.2018, 16:38

vlb

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Also das archimedische Prinzip hatten wir schon und wir hatten ganz wenige Beispiele, die aber vom Schwierigkeitsgrad nicht so hoch wie diese Aufgaben waren.
Deswegen bin ich auch etwas verwirrt. Ich verstehe gerade nicht was das Archimedische Prinzip mit diesen Aufgaben zu tun hat. Ich weiß, dass man es als Beweismethode verwenden kann..aber der Zusammenhang ergibt sich mir nicht. Wir hatten auch schon Grenzwertsätze, aber irgendwie steh ich einfach nur auf den Schlauch und verstehe nicht wie mir diese Sätze helfen sollen.

Und danke für den Tipp! Ich versuchs mal mit den Editor.
a) limes n gegen unendlich : $\begin{eqnarray*} \frac{n²-1}{n²} =1 \end{eqnarray*}$

b) limes n gegen unenendlich : $\begin{eqnarray*} \frac{4n²-1}{4n²+4n+1} =1 \end{eqnarray*}$

c) limes n gegen unendlich : $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2^{n} } =0 \end{eqnarray*}$

24.11.2018, 17:23

Guppi12

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Ich werde dir einmal anhand von der ersten Aufgabe zeigen, wie man das aufschreibt. Die 2. machst du dann selbst.

Es gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{n^2-1}{n^2} = 1-\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$ (hoffentlich nach Vorlesung, andernfalls musst du das noch zeigen!)

Daraus folgt mit Grenzwertsätzen $\begin{eqnarray*} 1 = 1-0\cdot 0 = \lim_{n\to\infty}1-\left(\lim_{n\to\infty}\frac 1n\right)\cdot\left(\lim_{n\to\infty}\frac 1n\right) \overset{GWS.}{=} \lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\right) \overset{GWS.}{=}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Das ist sehr ausführlich, wird aber (falls du Mathe studierst) so zu Beginn des Studiums erwartet. Die Definition der Konvergenz brauchst du nicht dazu schreiben, schließlich zeigst du die Konvergenz mit Hilfe der Grenzwertsätze und bereits bekannten Grenzwerten, nicht mit der Definition.

Die 2. kannst du jetzt ganz ähnlich aufschreiben.

Für die 3. ist doch bereits ein Tipp gegeben. Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} n^2\leq 2^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2^n} \end{eqnarray*}$ , wie kann man das evt. nach oben abschätzen?

24.11.2018, 17:28

Leopold

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@ Guppi12

Ich verstehe die Aufgabe so, daß vlb den Grenzwert zunächst heuristisch durch Termvereinfachung ermitteln soll, um dann mit der $\begin{align*} \varepsilon-n_0 \end{align*}$ -Definition nachzuweisen, daß der vermutete Wert tatsächlich der Grenzwert ist.

24.11.2018, 17:41

Guppi12

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Ah ja, das stimmt, habe nicht gründlich genug gelesen oben.

Dann zeige ich dir noch einmal anhand der 1. Aufgabe, wie das geht und du machst es bei der zweiten dann selbst.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-1}{n^2} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-1}{n^2}-1\right|= \left|1-\frac{1}{n^2}-1\right| = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Nach Archimedischem Prinzip, gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} \epsilon\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt, so ist für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-1}{n^2}-1\right| = \frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n_0^2} < \epsilon^2 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} \epsilon> 1 \end{eqnarray*}$ gilt, so ist $\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-1}{n^2}-1\right| = \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{1^2} = 1 < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

24.11.2018, 18:09

vlb

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Zitat:

Original von Guppi12
Ah ja, das stimmt, habe nicht gründlich genug gelesen oben.

Dann zeige ich dir noch einmal anhand der 1. Aufgabe, wie das geht und du machst es bei der zweiten dann selbst.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-1}{n^2} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-1}{n^2}-1\right|= \left|1-\frac{1}{n^2}-1\right| = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Nach Archimedischem Prinzip, gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} \epsilon\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt, so ist für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-1}{n^2}-1\right| = \frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n_0^2} < \epsilon^2 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} \epsilon> 1 \end{eqnarray*}$ gilt, so ist $\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-1}{n^2}-1\right| = \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{1^2} = 1 < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Danke für eure Hilfe und genauso wie du es in der letzten Antwort geschrieben hast, ist die Aufgabe auch gemeint. Nun studiere ich leider kein Mathe, sondern Wirtschaftswissenschaften..deswegen muss ich nun die ein oder andere "dumme" Frage für mein Verständnis stellen. Ich hoffe das ist okay smile

$\begin{eqnarray*} \left|1-\frac{1}{n^2}-1\right| \end{eqnarray*}$ Woher kommt hier aufeinmal die 1- bzw. warum fällt ein hoch 2 weg ?

$\begin{eqnarray*} epsilon^2 \end{eqnarray*}$ Warum steht hier Epsilon hoch 2/Wie kommst du darauf ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1^2} \end{eqnarray*}$ Warum setzt du hier für n0 1 ein ?

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